fracciones parciales

EXPOSICION: DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES


INDICE

5.1- Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.………………………………………………………………….……1

5.2 Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido………………………………………………………………..……7

5.3 Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadráticoirreducible…………………………………………………………………11

5.4 Descomposición en factores del denominador en donde se presentan raíces complejas conjugadas con multiplicidad……………………………………………………………….13
DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador eslineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:
5.1- Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de lafunción del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de laforma , donde o los números m y n no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.



Ejemplo 1:

Determinar la descomposición en fracciones parciales de:



Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que haceruna división larga.

Segundo: factorizo el denominador



Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma


Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.



Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:
Opero los paréntesis



Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi





Mis tresecuaciones son:



Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A


Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones



Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C






Coloco las respuestas en la letra correspondiente




Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho más fácil.Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.



Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial


Ahora sustituyo los valores de x

x = 0




x = -3


x = 1



Respuesta:


EJERCICIOS

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)



5.2- Descomposición en fracciones parciales con un factor linealrepetido.

Ejemplo:



Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es
Entonces lo colocamos asi:



Si fuera al cubo el término repetido lo pondríamos:


Ejemplo resuelto por pasos:



Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador eltérmino repetido elevado al cuadrado así:



Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones.

Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.



Operamos los paréntesis





Formo mis 3 ecuaciones



Resolviendo me queda:



Sustituyo valores en...