Fracciones Parciales
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Publicado: 9 de agosto de 2012
ciGUIA 5 A FRACCIONES RACIONALES
Descomposición en fracciones parciales. En MATEMATICA 1 se han transformado sumas y sustracciones de expresiones racionales en una sola fracción, utilizando las operaciones de suma y resta. En CALCULO INTEGRAL y ecuaciones diferenciales puede ser extremadamente ventajoso invertir el proceso, es decir, poder escribir una fracción racional como la suma o resta dedos o mas fracciones. Ejemplo
. El proceso de escribir la fracción anterior como la suma de dos o más fracciones racionales de menor grado en los polinomios que hacen parte de los denominadores, se llama descomposición en fracciones parciales. Definición 1 . Dada una expresión racional de la forma y son polinomios y ; si el grado de donde es
menor que el grado de propia.
, la fracciónracional se llama fracción
Definición. Si en la fracción racional
se da que el grado
de
es
mayor o igual que el grado de
,
la fracción racional
se llama fracción impropia. Si es una fracción impropia se puede escribir, utilizando el
algoritmo de la división, como la suma de un polinomio y una fracción propia de la manera siguiente:
es el polinomio cociente. es elpolinomio residuo. Ejemplo 2.
. Teorema A. En un polinomio con coeficientes reales siempre existe una factorización completa en factores lineales ó factores lineales y cuadráticas irreducibles. El anterior teorema, que se enuncia sin demostración, permitirá escribir cualquier expresión racional propia como la suma de fracciones racionales con polinomios en los denominadores de grado 1 o 2. La formade estas fracciones, llamadas parciales, la garantiza el siguiente teorema. Teorema B. Cualquier fracción propia escrita en su mínima
expresión se puede descomponer en la suma de fracciones parciales de la forma siguiente:
•
Si
tiene un factor lineal no repetido, de la forma
,
entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma determinar. donde A esuna constante a
Si
tiene un factor lineal
que se repite k veces, de la
forma
, en tonces la descomposición en fracciones parciales
de contiene términos de la forma donde A1, A2,....,Ak son constantes a determinar. Si tiene un factor cuadrático, de la forma irreducible en los reales, que no se repite, entonces la Descomposición en fracciones parciales de Término de la formadeterminar.
•
contiene un
, donde A y B son constantes a
Si forma
tiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la , entonces la descomposición en fracciones
•
parciales de
contiene términos de la
•
forma
•
donde A1, B1, A2, B2,....,Ak, Bk son constantes a determinar.
Ejemplo 3.
Descomponga en fracciones parciales Solución.
.
se puede descomponercomo el producto de dos factores lineales no repetidos así: . Por tanto,
.
Se sabe que, Como y tienen denominadores iguales,
Se debe cumplir que, que,
o sea
Como los dos polinomios son iguales, se debe cumplir que:
Se obtiene que Entonces, Ejemplo 4. Descomponga
,
.
en fracciones parciales.
Solución. tiene dos factores lineales y uno de ellos está repetido dos veces,por tanto:
Como en la igualdad anterior, los denominadores son iguales, se debe cumplir entonces, . Como la anterior ecuación, es una identidad debe ser válida para todos los valores reales de x.
En particular, si Si Si , se tiene:
se tiene: o sea que .
, o sea que
.
, por tanto O sea que,
.
. Ejemplo 5.
Descomponga en fracciones parciales Solución.
.
tiene unfactor cuadrático que no se puede factorizar como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Por tanto,
. O sea que,
. Como en la igualdad anterior los denominadores son iguales, se debe cumplir que,
Puesto que los anteriores polinomios son iguales se debe cumplir que:
La solución, al anterior sistema de ecuaciones, es: , O sea que: , .
. Ejemplo 6 Descomponer en...
Descomposición en fracciones parciales. En MATEMATICA 1 se han transformado sumas y sustracciones de expresiones racionales en una sola fracción, utilizando las operaciones de suma y resta. En CALCULO INTEGRAL y ecuaciones diferenciales puede ser extremadamente ventajoso invertir el proceso, es decir, poder escribir una fracción racional como la suma o resta dedos o mas fracciones. Ejemplo
. El proceso de escribir la fracción anterior como la suma de dos o más fracciones racionales de menor grado en los polinomios que hacen parte de los denominadores, se llama descomposición en fracciones parciales. Definición 1 . Dada una expresión racional de la forma y son polinomios y ; si el grado de donde es
menor que el grado de propia.
, la fracciónracional se llama fracción
Definición. Si en la fracción racional
se da que el grado
de
es
mayor o igual que el grado de
,
la fracción racional
se llama fracción impropia. Si es una fracción impropia se puede escribir, utilizando el
algoritmo de la división, como la suma de un polinomio y una fracción propia de la manera siguiente:
es el polinomio cociente. es elpolinomio residuo. Ejemplo 2.
. Teorema A. En un polinomio con coeficientes reales siempre existe una factorización completa en factores lineales ó factores lineales y cuadráticas irreducibles. El anterior teorema, que se enuncia sin demostración, permitirá escribir cualquier expresión racional propia como la suma de fracciones racionales con polinomios en los denominadores de grado 1 o 2. La formade estas fracciones, llamadas parciales, la garantiza el siguiente teorema. Teorema B. Cualquier fracción propia escrita en su mínima
expresión se puede descomponer en la suma de fracciones parciales de la forma siguiente:
•
Si
tiene un factor lineal no repetido, de la forma
,
entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma determinar. donde A esuna constante a
Si
tiene un factor lineal
que se repite k veces, de la
forma
, en tonces la descomposición en fracciones parciales
de contiene términos de la forma donde A1, A2,....,Ak son constantes a determinar. Si tiene un factor cuadrático, de la forma irreducible en los reales, que no se repite, entonces la Descomposición en fracciones parciales de Término de la formadeterminar.
•
contiene un
, donde A y B son constantes a
Si forma
tiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la , entonces la descomposición en fracciones
•
parciales de
contiene términos de la
•
forma
•
donde A1, B1, A2, B2,....,Ak, Bk son constantes a determinar.
Ejemplo 3.
Descomponga en fracciones parciales Solución.
.
se puede descomponercomo el producto de dos factores lineales no repetidos así: . Por tanto,
.
Se sabe que, Como y tienen denominadores iguales,
Se debe cumplir que, que,
o sea
Como los dos polinomios son iguales, se debe cumplir que:
Se obtiene que Entonces, Ejemplo 4. Descomponga
,
.
en fracciones parciales.
Solución. tiene dos factores lineales y uno de ellos está repetido dos veces,por tanto:
Como en la igualdad anterior, los denominadores son iguales, se debe cumplir entonces, . Como la anterior ecuación, es una identidad debe ser válida para todos los valores reales de x.
En particular, si Si Si , se tiene:
se tiene: o sea que .
, o sea que
.
, por tanto O sea que,
.
. Ejemplo 5.
Descomponga en fracciones parciales Solución.
.
tiene unfactor cuadrático que no se puede factorizar como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Por tanto,
. O sea que,
. Como en la igualdad anterior los denominadores son iguales, se debe cumplir que,
Puesto que los anteriores polinomios son iguales se debe cumplir que:
La solución, al anterior sistema de ecuaciones, es: , O sea que: , .
. Ejemplo 6 Descomponer en...
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