fracciones parciales

Ecuaciones Diferenciales,
Fracciones Parciales y F´ormulas de Heaviside
Dr. Juli´an Gpe. Tapia Aguilar
E S F M – Instituto Polit´ecnico Nacional
julianpe@yahoo.com.mx
Agosto de 2008

´Indice
1. Introducci´
on

1

2. Ra´ıces Reales Distintas

2

3. Ra´ıces Reales Repetidas

5

4. Factores Cuadr´
aticos Irreducibles Distintos

8

1.

Introducci´
on
Una fracci´on propiaes por definici´on aquella en donde,
P (x)
,
Q(x)

(1)

el grado del polinomio en el denominador Q(x) es mayor que el grado del polinomio en el numerador
P (x).
A veces se hace necesario escribir el cociente como una suma de fracciones en donde el denominador es lineal o cuadr´atico (en el caso de que no existan ra´ıces reales). Por ejemplo, como
motivaci´on de esta idea, considere laintegral,
3x2 − 6x + 7
dx.
x3 − 6x2 + 11x − 6
A primera vista, parece una tarea bastante complicada; sin embargo, al tomar en cuenta la factorizaci´on del denominador,
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3),

1

le permite al m´etodo que estamos a punto de estudiar, escribir la fracci´on como una “suma de
fracciones parciales”,
3x2 − 6x + 7
=
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
=(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A
B
C
=
+
+
.
x−1 x−2 x−3
donde hay que determinar las constantes num´ericas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes,
de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la b´
usqueda de
la integral como se indica a continuaci´on.
3x2 − 6x + 7
dx =
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
=
dx
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A
B
C
=
dx+
dx +
dx.
x−1
x−2
x−3
= A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x − 3).

2.

Ra´ıces Reales Distintas
En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracci´on se puede reescribir de la siguiente manera.
P (x)
.
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )

(2)

donde ai , i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las ra´ıces de Q(x).
Para este caso, la descomposici´on en fracciones parciales quese propone es,
P (x)
=
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )
A1
A2
A3
Ak
=
+
+
+ ··· +
.
x − a1 x − a2 x − a3
x − ak
En este caso,
Ai =

P (ai )
,
Q (ai )

equivalentemente, Ai =

P (ai )
Qi (ai )

(3)

(4)

donde como siempre, Q (x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio
Q(x), y el polinomio Qi (x) queda definido por,
Qi (x)=

Q(x)
,
(x − ai )

esto es, Qi (x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor (x − ai ).
2

Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a,
s2

s−1
.
+s−6

Soluci´
on: En este caso la factorizaci´on es la siguiente,
s2

s−1
s−1
A1
A2
=
=
+
,
+s−6
(s + 3)(s − 2)
s+3 s−2

(5)

Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “n´
umerosamigos”; aquellos n´
umeros que anulan al
polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuaci´on 3 se satisface, entonces,
s − 1 = A1 (s − 2) + As (s + 3).
Los n´
umeros amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera:
s = 2: Implica que,
2 − 1 = A1 (2 − 2) + A2 (2 + 3) = 5A2 ,

∴

1
A2 = .
5

s = −3: Implica que,
−3 − 1 = A1 (−3 − 2) + A2(−3 + 3) = −5A1 ,

∴

4
A1 = .
5

Las f´ormulas de Heaviside en este caso, donde
Q(s) = s2 + s − 6, ∴ Q (s) = 2s + 1,

P (s) = s − 1,
proponen para los coeficientes,

s−1
2s + 1
s−1
2s + 1

A1 =
A2 =

4
−3 − 1
= ,
2(−3) + 1
5
s=−3
1
2−1
= .
=
2(2) + 1
5
s=2
=

Las f´ormulas equivalentes requieren los polinomios,
Q1 (s) =
Q2 (s) =

s2 + s − 6
(s + 3)(s − 2)=
= s − 2,
s+3
s+3
s2 + s − 6
(s + 3)(s − 2)
=
= s + 3.
s−2
s−2

Los coeficientes son,
A1 =
A2 =

s−1
Q1 (s)
s−1
Q2 (s)

−3 − 1
4
= ,
−3 − 2
5
s=−3
2−1
1
=
= .
2+3
5
s=2
=

Los mismos resultados.
3

Ejemplo 2 Regresando al problema dado como motivaci´
on al inicio de este documento, vamos a
encontrar la descomposici´
on en fracciones parciales del...