Frontera eficiente

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METODOLOGIAS DE OPTIMIZACIÓN Y RIESGOS



Como parte del desarrollo del esquema de gestión de portafolios es necesario introducir los conceptos desarrollados por la optimización de portafolios de inversión, bajo la teoría moderna de portafolio se ha buscado asignación de inversiones teniendo en cuenta un criterio de rentabilidad evaluando el riesgo asumido por el portafolio. Es así como estateoría sirve de base para la creación de presupuestos de riesgos, donde se profundiza mucho más en las medidas de riesgo a utilizar y el nivel de riesgo que se quiera asumir.


1. Markowitz y Modelos de Media-Varianza


Con el trabajo de Markowitz[1] nacen los elementos básicos de la teoría moderna de portafolio, particularmente el impacto del concepto de diversificación en la búsqueda deportafolios óptimos. En su trabajo demuestra matemáticamente que la inclusión de nuevos activos al portafolio puede disminuir el riesgo total del portafolio.

Partiendo de la varianza como medida de riesgo y las covarianzas existentes entre los activos financieros se crea el concepto de frontera eficiente, la cual es una construcción de todas las combinaciones óptimas de activos que para un nivelde riesgo obtienen un máximo de rentabilidad esperada.

De esta forma, el proceso de optimización centra su atención en el aporte marginal de cada activo, que está representado en su covarianza con los demás activos del portafolio. En su exposición los inversionistas racionales deberían comportarse de tal manera que reflejen su inherente aversión al riesgo, evaluando la contribución que hace unactivo particular sobre el riesgo total del portafolio y la respectiva compensación de este activo en la rentabilidad esperada.

De su aporte surgen los llamados modelos de media-varianza para optimización de portafolios. La formulación del modelo se presenta a continuación:


Min [pic]

s.a. [pic] Rentabilidad Esperada
[pic]

[pic] Para cada i

Donde [pic] : Vector de los [pic],que indican el peso de cada activo en el portafolio.
[pic]: Matriz de varianza-covarianza.
[pic]: Restricciones mínimas y máximas de participación en cada activo. Estas restricciones provienen de políticas de riesgo de crédito o liquidez o restricciones del mismo mercado o del regulador.

El anterior procedimiento puede llevarse a cabo para toda la dimensión de rentabilidades esperadas y asíobtener la frontera eficiente. Siguiendo el desarrollo de Markowitz, el portafolio óptimo de cada inversionista se encuentra cuando las curvas de indiferencia, dada una función de utilidad, se encuentren tangencialmente con dicha frontera eficiente[2]. De esta forma encontramos el uso de funciones de utilidad cuadráticas (U) de la siguiente forma[3]:

[pic]

Donde:

[pic]: Rentabilidadesperada del portafolio.
[pic]: Parámetro que mide al grado de aversión al riesgo del inversionista.
[pic]: Varianza del portafolio.

El parámetro que mide la aversión al riesgo es la tasa a la cual el inversionista balanceará una reducción en la rentabilidad esperada por una reducción en la varianza. La forma de la función de utilidad cuadrática representa el supuesto que en la medida que elriesgo aumente existe un incremento en la aversión del inversionista.

Si adicionamos a todo este desarrollo de Markowitz, el hecho que los inversionistas pueden prestar y tomar prestado a una tasa libre de riesgo, entonces la frontera de portafolio óptimo es una línea que conecta la tasa libre de riesgo con el portafolio que tiene la razón mas alta entre el exceso de retorno esperado sobre la tasalibre de riesgo y la volatilidad[4]. Esta razón es llamada la razón Sharpe en honor al Nóbel William F. Sharpe.

Para un mundo con tres activos: bonos ([pic]), acciones ([pic]) y efectivo remunerado (1-[pic]-[pic]), sin restricciones de participación, el modelo de media-varianza tiene el siguiente desarrollo.

La rentabilidad esperada del portafolio ([pic]) esta dada por:

[pic]

Donde...
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