FUERZAS DISTRBUIDAS

1. Centroides y centros de Gravedad para figuras simples y figuras compuestas.

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo.
De manera semejante, el centroide para el área superficial de un boleto, como una placa oun casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de áreas en torno a los ejes de coordenadas a saber.





Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad
de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x y y también
se conoce como el centroide C del área A de la placa
Si la placa no eshomogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para
determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún
definen al centroide del área.
La localización del centroide no esta necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. En los casos en los que la forma tiene un ejede simetría el centroide de la forma estará a lo largo del eje.






• Primeros momentos de áreas.

La integral se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe:



Se observa que los primeros momentos del área Apueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide:



A partir estás ecuaciones se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Por último, a partir de estás se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primermomento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.
En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes. La abscisa de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de lasabscisas de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, seescribe:




O en forma condensada,



Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas y del centro de gravedad de la placa.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puedeexpresarse como el producto de con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y (como se muestra en la figura anterior). La ordenada del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene:


O en forma condensada,



Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del áreacompuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas y de su centroide.
Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho...