Función afín

Realizado por:
Estemuchacho





Introducción.
La función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma: y= m • x + b o f(x) = m • x + b, en la que m y n son dos números cualesquiera. La representación gráfica de una función afín es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Pasa por el punto de coordenadas (0, n). Las funciones afines son funciones continuas, yaque se pueden dibujar de un solo trazo. La recta de estas funciones tiene pendiente m y ordenada en el origen b.- Si la pendiente de la recta, m, es positiva, entonces la función es creciente.- Si la pendiente de la recta, m, es negativa, entonces la función es decreciente.
En esta investigación, se detallarán las características de la funcion afín. Su Simbología, definición, dominio, rango ybiyectividad de la función afín. Se analizan los diferentes casos de Pendiente de una recta y se describe paso a paso su Representación Gráfica.









Simbología Función Afín
Podemos escribir para la función afín.
f.:R → R f(x) = mx + b
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 lafunción es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.


Definición de Función Afín
En matemática, el término función afín puede referirse a dos conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, unafunción afin es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta ycuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

Dominio, Rango
Vamos a considerar dos casos:
f: R →R, y = mx + b con m≠0.
En este caso, tanto el dominio como el codominio corresponden a R.
Dominio: .
Rango: .
f: R → R, y = b. En este caso, m = 0, el dominio corresponde a los reales; pero el rango se limita al valor constante y = b. Es decir, el rango es R_f=(b).
Dominio: .Rango: y = b

Biyectividad ge la Función Afín
A fin de estudiar la biyectividad de la función afín, vamos a considerar dos casos:
f: R →R, y = mx + b con m≠0. La función es inyectiva porque para 2 valores distintos de x se obtienen diferentes valores de y. La función es además sobreyectiva porque el rango y el codominio son los mismos. Como la función es inyectiva y sobreyectiva es, portanto, biyectiva. En conclusión:
La función f: R→R,definida por f(x)= mx + b,con m≠ 0,
es una función biyectiva

Como la función y = mx + b (m = 0) es biyectiva, admite una función inversa. Para determinar esta función inversa, despejamos x:
y=mx + b x=(y-b)/m
Intercambiando x por y:
y=(x-b)/m
Ejemplos de este caso:
La función lineal del tipo:
y = mx
Su gráficaes una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
(Para 2 valores distintos de x se obtienen diferentes valores de y).
La función del tipo:
y = mx+b
y = 2x - 1



2. f: R → R, y = b. La función no es inyectiva porque para 2 valores distintos de x se obtiene el mismo valor de y. Tampoco es sobreyectivaporque el rango no cubre el codominio de la función. Como consecuencia, la función no es biyectiva.
Ejemplos de este caso:
La función constante del tipo:
y = b
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Pendiente de una recta
Considerando la función: y = mx - 1
Donde m puede...