Función cuadratica, ejercicios resultos

FUNCIÓN CUADRÁTICA
A toda función de la forma y = f (x) = a x 2 + b x + c , con a , b , c ∈ R se la llama función cuadrática. En la expresión anterior a x 2 es el término cuadrático, b x es el término lineal y c el término independiente. El dominio de la función es R y su gráfica es una curva llamada parábola. y a≠0

Analicemos los gráficos de algunas funciones cuadráticas cuando varía elcoeficiente de x 2 :

a1 > a2 > 0

a1 < 0 y a2 < 0 a1  > a2 

Comparando los gráficos podemos observar que: • El signo de a indica hacia donde se dirigen las ramas: - si a es positivo, las ramas van hacia arriba, - si a es negativo, las ramas van hacia abajo; • El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas: - cuanto menor es a, la parábola es más abierta, - cuanto mayor esa, la parábola es más cerrada.
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Curso de Apoyo en Matemática Ejercicio 1 : Representar en un mismo sistema de coordenadas las gráficas de: 1 1 y = x 2 ; y = -2 x 2 ; y = - x 2 y visualizar la información anterior. 2 2 Tomemos la función y = x2 cuya gráfica es simétrica respecto del eje y. y = 2 x2 ;

Si desplazamos el gráfico de otras funciones cuadráticas.

y = x2

en formavertical u horizontal, obtenemos las gráficas de

Ejemplo: • • Si trasladamos la gráfica y = x 2 + 2. Si trasladamos la gráfica y = x 2 - 1. y = x2 y = x2 dos unidades hacia arriba, obtenemos la gráfica de la función una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función

Observemos que estos desplazamientos no modifican el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagende cada función.

Ejercicio 2 : Completar el siguiente cuadro: y = x2 Vértice Conjunto imagen Ejemplo: • Si trasladamos la gráfica función y = ( x - 2 )2 .
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y = x2 + 2 (0 , 2)

y = x 2 - 1. [-1 , +∞)

y = x2

dos unidades hacia la derecha, obtenemos la gráfica de la

Función Cuadrática • Si trasladamos la gráfica función y = ( x + 1 )2 . y = x2 una unidad hacia laizquierda, obtenemos la gráfica de la

Estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la abscisa del vértice, pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función.

Ejercicio 3 : Completar el siguiente cuadro: y = x2 Eje de simetría Vértice y = (x - 2)2 (2 , 0) y = (x + 1)2 x = -1

Si ahora trasladamos la gráfica y = x 2 una unidad hacia la derecha, y dos unidades hacia arriba, obtenemosla gráfica de la función y = ( x - 1 )2 + 2. Y si, trasladamos y = x 2 tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo, obtenemos la gráfica de la función y = ( x + 3 )2 - 1.

Ejercicio 4 : a) Representar en un mismo sistema coordenado las gráficas de: y = ( x + 3 )2 - 1. b) Completar el siguiente cuadro: y = x2 Eje de simetría Vértice Conjunto imagen y = (x - 1)2 + 2 (1 , 2) y = (x +3)2 - 1 x = -3 y = x2 ; y = (x - 1)2 + 2 e

De lo anterior resulta que: al desplazar la gráfica de y = x2 unidades en sentido vertical, obtenemos la gráfica de la función y = (x - p)2 + k Su vértice es el punto V = (p , k)

p unidades en sentido horizontal y k

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Curso de Apoyo en Matemática El eje de simetría es la recta de ecuación x = p.

La función cuadrática y = a x 2 + bx + c , con a ≠ 0 , mediante el método de completar cuadrados se transforma en y = a (x - p)2 + k llamada forma canónica de la parábola. Cuando y = 0 , resulta la ecuación visto aplicando la fórmula: x 1,2 = a x2 + b x + c = 0 -b ±
2

cuyas raíces se obtienen como ya hemos

b - 4a c . Las mismas representan los puntos de 2a

intersección de la parábola con el eje x. Según que la ecuacióntenga dos raíces reales, una o ninguna, la parábola cortará al eje x, será tangente a él, o quedará toda ella por encima o por debajo del eje.

Dos raíces reales

Una raíz real doble

Ninguna raíz real

Cuando la parábola tiene raíces reales, las mismas equidistan del eje de simetría. Luego podemos x + x2 obtener la abscisa del vértice de la parábola haciendo: xV = 1 y la ordenada de...