Función Inversa

Tema: Función Inversa.
Matemáticas para la Computación


FUNCIÓN INVERSA

Se dice que una función : A B es invertible si su relación inversa -1, también es una función.
El " -1" de lafunción significa función inversa y no tiene nada que ver con el "-1" utilizado como exponente.
No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor delrecorrido de (y), proviene de un único valor del dominio (x).
Se llama función inversa o reciproca de  a otra función -1 que cumple que:
Si (a) = b, entonces -1(b) = a
-2

-1

0

1

2
2

34

5

6
-2

-1

0

1

2
2

3

4

5

6
(x) = x + 4

Podemos observar que:
El dominio de -1 es el recorrido de
El recorrido de -1 es el dominio de 
Si queremos encontrarel recorrido de una función tenemos que encontrar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
( o -1) (x) = (-1 o ) (x) = x

TEOREMASTeorema 1. Sea : AB una función.
(a) Entonces -1 es un función de B a A si y sólo si es uno a uno.
(b) Si -1 es una función, entonces la función -1 también es uno a uno.
(c) -1 estádefinida en todas partes si y sólo si es sobre.
(d) -1 es sobre si y sólo si está definida en todas partes.
Demostración:
(a) Se demostrara el siguiente enunciado equivalente.
-1 no es unafunción si y sólo si no es uno a uno.
Supóngase, primero, que -1 t no es una función. Entonces, para alguna b en B, -1 (b) debe contener por lo menos dos elementos distintos, a1 y a2. Entonces (a1)=b= (a2), por lo cual no es uno a uno. A la inversa, supóngase que no es uno a uno. Entonces (a1)= (a2)=b par dos elementos distintos a1 y a2 de A. En consecuencia, -1 (b) contiene a ambos a1 y a2,por lo que -1 no puede ser una función.
(b) Puesto que (-1) -1 es la función, la parte (a) demuestra que -1 es uno a uno.
(c) Se recordará que Dom(-1)= Ran(). En consecuencia, B= Dom(-1) si y...