Funcion inversa

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Función inversa

Definición: se define que una función f es una función uno a uno, si y solo si cada elemento del rango de f está asociado con exactamente a un elemento de su dominiox. En general, una función f es uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio.
Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la “reglade inversión” sea una función. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de una función, determinar si la función dada es uno a uno.
Gráficamente una función es uno a uno si solo sininguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.
Definición:
Sea f una función uno a uno, con dominio X y recorrido Y. La inversa de f es una función g con dominio Y y recorrido X;para lo cual:
f(g(x)) para cada x en Y
g(f(x)) para cada y en X
Es decir:
f(f -1(x))= x
f -1(f(x)) = x

O sea, a la función inversa de f, se le llama f -1, y se cumple que:
Si f(a)=b-------------------------> f -1(b)=a
Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:
(f -1 º f)(x)=x (f º f -1)(x)=x

Sea f una función que asocia a un punto x de su dominiola imagen y=f(x). Supongamos que f es tal que diferentes x son transformados siempre en diferentes y. Así, cada y en el rango de f es la imagen de a lo más un valor x. Puede asociarse con cada y en elrango de f el valor x que es su preimagen. De esta manera, se define una función g cuyo dominio es el rango de f y que al aplicarse a una imagen y=f(x), reproduce el valor original x, esto es,g(f(x))=x.
g se denomina la inversa de f y se denota f-1. Esta función g se halla al despejar la x en función de y.
f también es la inversa de g, de modo que también f(g(y))=y.

Si la función g serepresenta de la manera usual, como función de x, por y=g(x), entonces la gráfica de y=g(x) es simétrica de la gráfica de y=f(x) con respecto a la recta y=x.
Ejemplo:
y=f(x)=ex

Despejando x en...
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