Funci n Generatriz de Momentos

ESTADÍSTICA II
CÁT.: LILIANA GHERSI

FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
AUTOR: FACUNDO DANIEL TULA

LA FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS.
La Función Generatriz de Momentos (F. M. G.) de una variable aleatoria X se
define como:

ϕ x (t ) = E (e t⋅ x )
En consecuencia se entiende que el razonamiento del cálculo de una generatriz va a
depender del tipo de variable que se trabaje.
De este modo, si lavariable aleatoria es de tipo discreta, Ω es el domino o recorrido
de la variable y p( x ) es la ley de formación de probabilidades de la variable:

ϕ x (t ) = E (e t⋅x ) = ∑ e t⋅x ⋅ p( x )
x∈Ω

En cambio si la variable que se trabaja es continua, Ω es su recorrido y f ( x ) es la
densidad de la variable:

ϕ x (t ) = E (e t⋅x ) =

∫e

t ⋅x

⋅ f ( x ) ⋅ dx

x∈Ω

Es importante tener en cuanta que paracada variable aleatoria existe una única
función generatriz.

I. PROPIEDADES DE LAS F. G. M.
Todo Función Generatriz de Momentos cumple con las siguientes propiedades que
son de gran utilidad para la obtención de las distintas funciones generatrices.
1. Se verifica que la derivada k-ésima evaluada en t = 0 de la generatriz, es igual
al momento absoluto (1) de orden k.

ϕ x( k ) (0 ) = m k

( )

Sila generatriz se define como ϕ x (t ) = E e t⋅x , podemos reexpresar e t ⋅ x mediante
un polinomio de Mac Lauren del siguiente modo:
∞

(t ⋅ x )n

n =0

n!

f ( x ) = et⋅x = ∑

=1 + t ⋅ x +

(t ⋅ x )2 + (t ⋅ x )3 + (t ⋅ x )4 + K
2!

3!

4!

Desarrollando esta expresión con el operador esperanza:



ϕ x (t ) = E (e t⋅x ) = E ∑
∞

 n =0

(1)

(t ⋅ x )n  = E 1 + t ⋅ x + (t ⋅ x )2 + (t ⋅ x )3 +(t ⋅ x )4 + K

n! 




2!

3!

4!

Recordemos que el momento absoluto de orden k de una variable aleatoria X se define como:

µ k = E (x k )
-1-




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AUTOR: FACUNDO DANIEL TULA

Como la esperanza de una suma es igual a la suma de las esperanzas podemos
decir que:
 (t ⋅ x )2 
 (t ⋅ x )3 
 (t ⋅ x )4 
+
E
+
E




+K
 2! 
 3! 
 4! 

ϕ x (t ) = E (1) + E (t ⋅ x ) + E 

Separando variables de constantes tenemos:
 t2 2 
 t3

 t4

⋅ x  + E  ⋅ x 3  + E  ⋅ x 4  + K
 2!

 3!

 4!


ϕ x (t ) = E (1) + E (t ⋅ x ) + E 

Sabiendo que la esperanza de una constante es igual a esa misma constante y que
la esperanza del producto de una constante por una variable es igual al producto
de laconstante por la esperanza de la variable logramos tener:

ϕ x (t ) = 1 + t ⋅ E ( x ) +

( )

( )

( )

t2
t3
t4
⋅ E x2 + ⋅ E x3 + ⋅ E x4 + K
2!
3!
4!

Así si derivamos por primera vez obtenemos:

ϕ ′x (t ) =

dϕ x (t )
1
1
= E (x ) + t ⋅ E x 2 + ⋅ t 2 ⋅ E x 3 + ⋅ t 3 ⋅ E x 4 + K
dt
2
6

( )

( )

( )

Y si evaluamos para t = 0 nos resulta ϕ ′x (0 ) = E ( x ) que se corresponde con el
momento deorden 1.
Si derivamos por segunda vez con respecto a t :

ϕ ′x′(t ) =

d 2ϕ x (t )
1
= E x2 + t ⋅ E x3 + ⋅ t 2 ⋅ E x4 + K
2
dt
2

( )

( )

( )

( )

En t = 0 tenemos ϕ ′x′(0 ) = E x 2 que es el momento de orden 2.
De continuar, observaremos como si evaluamos las derivadas sucesivas de ϕ x (t )
en t = 0 , cada derivada va a coincidir con un momento absoluto de igual orden
que la derivada quedandoasí demostrado que ϕ x( k ) (0 ) = m k .
2. Si la generatriz se evalúa en t = 0 se tiene:

ϕ x (0 ) = 1
Esto se puede comprobar pensando:

ϕ x (t ) = E (e t ⋅ x ) = E (e 0⋅ x ) = E (1) = 1

-2-

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También podemos comprobarlo recurriendo a la expresión que determinamos
anteriormente de la generatrizque, si la evaluamos en cero, vemos que también
verifica esta propiedad:

ϕ x (t ) = 1 + t ⋅ E ( x ) +

( )

( )

( )

t2
t3
t4
⋅ E x 2 + ⋅ E x 3 + ⋅ E x 4 + K ⇒ ϕ x (0 ) = 1
2!
3!
4!

3. Si X es una variable aleatoria y a ∈ R/ se cumple:

ϕ a⋅x (t ) = ϕ x (a ⋅ t )
Se puede demostrar planteando:

ϕ a⋅ x (t ) = E (e t ⋅(a⋅ x ) ) = E (e (a⋅t )⋅ x ) = ϕ x (a ⋅ t )
4. Si X e Y son variables aleatorias...