Función generatriz de momentos

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FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
Definición
En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es
Sea X una variable aleatoria (El valor esperado):
-b < t < b
Siempre que esta esperanza exista.
La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentosde la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que esos momentos y la propia función generadora podrían no existir, en virtud de que las integrales no fuesen convergentes. Por el contrario, la funcióncaracterística siempre existe (porque la integral es una función limitada en un espacio de medida finita) y, de este modo, puede usarse en su lugar.
De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de tX:

Cálculo
Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por



Donde mi es el i-ésimo momento. MX(− t) es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f(x).
Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

Donde F es la función de distribución.
Si X1, X2, ..., Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) yDonde las ai son constantes, entonces la función de densidad de Sn es la convolution de la función de densidad de cada una de las Xi y la función generadora de momentos para Sn viene dada por

Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

Donde t es un vector y es el dot product.
Si X es una variable aleatoriadiscreta

Si la variable es continua

Puede demostrarse que si la función generadora de momentos existe, entonces es única y determina por completo a la distribución de probabilidad de X. Es decir, si dos variables aleatorias tienen la misma función generatriz de momentos, entonces, las dos variables tienen también la misma distribución de probabilidad.
Por otra parte, si la función generadorade momentos existe, entonces es indefinidamente derivable en t=0. Esto nos asegura que generará todos los momentos, de cualquier orden, de X en cero. En efecto:

Derivando

Para la derivada segunda, se tiene:


En general, siguiendo con el proceso de diferenciación, se obtiene:

El mismo resultado se obtendría si se reemplaza la función exponencial por su desarrollo en serie depotencias alrededor de t=0.

Al derivar con respecto a t y calcular sus derivadas en t=0, se llegaría al mismo resultado.
1. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones discretas.
Binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial B(n; p) es

La función generadora de momentos

Poisson
La función de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson deparámetro λ es:

La función generadora de momentos viene dada por:


Binomial negativa
La función de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa de parámetros k y p es:

La función generadora de momentos está dada por

2. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones continuas.
Normal
La función de densidad de una variable aleatoria que se distribuyesegún una normal de parámetros μ y σ está dada por

Empecemos calculando la función generadora de momentos centrales.

En el último término, la parte de la integral y el factor donde se encuentra la raíz cuadrada constituyen la función de distribución de una variable aleatoria normal de parámetros N (μ+σ2t; σ) extendida a toda la recta real, valiendo, por tanto, 1.
La función generadora de...
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