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Carrera: UAX
Asignatura: Matemáticas
Fecha:
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Álgebra para ingenieros de la
Universidad Alfonso X
1-Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Operaciones con matrices:
 a 11

A=  a 21
 M

a
 m1

a 12

L

a 22
M
a m2

L
M
L

a1n 
 b11


b
a 2n 
B=  21

 M
M


 b p1
a mn 



b12
b 22
M
b p2

b 1q 

L b2q 
MM 

L b pq 

L

Suma:
- Las matrices a sumar tienen que tener la misma dimensión (m=p, n=q).
 a 11 + b11

A+B =  a 21 + b 21

M

a + b
 m1
m1

a 12 + b12

L

a 22 + b 22
M
a m 2 + bm 2

L
M
L

a 1n + b1 n 

a 2n + b 2n 

M

a mn + b mn 


Producto por un número (λ):
 λ a 11

λA=Aλ=  λa 21
 M

 λa
 m1

λ a 12

L

λa 22
Mλa m2

L
M
L

λ a1n 

λa 2 n 
M 

λ a mn 


Producto de matrices:
-

El producto de matrices no es conmutativo (en ocasiones AB≠BA).
Si multiplicamos AB, A tiene que tener la misma cantidad de columnas que B de filas
(n=p).
La matriz resultante de la multiplicación tiene la misma cantidad de filas que A y de
columnas que B (dimensión de AB es igual a m×q).DELTA-MASTER

c/ General Ampudia 16, 28003 MADRID

( 915351932 915333842

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AB=
 a 11 b11 + a 12 b 21 + L + a 1n b n 1

 a 21 b11 + a 22 b 21 + L + a 2 n b n 1

M

 a m1 b 11 + a m 2 b 21 + L + a mn b n 1


a 11 b12 + a 12 b 22 + L + a1 n b n 2

L

a 21 b12 + a 22 b 22 + L + a 2 n b n 2
M

L
M

a m 1 b12 + a m 2b 22 + L + a mn b n 2

L

a 11 b1 q + a 12 b 2 q + L + a 1n b nq 

a 21 b1 q + a 22 b 2 q + L + a 2 n b nq 

M

a m 1 b1 q + a m 2 b 2 q + L + a mn b nq 


Traza de una matriz:
-La matriz a la que se halla la traza tiene que ser cuadrada (n=m).
-La traza es la suma de los elementos de la diagonal.
traza(A)= a11 + a 22 L a nn

Transposición de matrices:
-La transposiciónes el simple cambio de filas por columnas.
 a 11

T
A =  a 12
 M

a
 1n

a 21

L

a 22
M
a 2n

L
M
L

a n1 

a n2 
M 

a nn 


Tipos de matrices
Matriz fila: matriz con una sola columna (m×1).
Matriz columna: matriz con una sola fila (1×n):
Matriz cuadrada: matriz con la misma cantidad de filas que de columnas (n=m).
Matriz rectangular: matriz con unnúmero diferente de filas que de columnas (n≠m).
Matriz nula: Matriz en la que todos sus elementos son ceros.
Matriz triangular superior (inferior): matriz cuadrada en la cual todos los elementos que
están por debajo (arriba) de la diagonal son ceros.
Matriz diagonal: matriz cuadrada en la cual son nulos los elementos por debajo y por arriba
de la diagonal.
Matriz regular: matriz que sepuede invertir.
Matriz identidad: matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal son unos.
Matriz simétrica: matriz que es igual a su transpuesta (A= AT ).
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Matriz antisimétrica: A=- AT .
Matriz ortogonal: AT = A −1 .
Matriz idempotente: A 2 = A.Matriz nilpotente: si existe un n tal que A n = O (O matriz nula).

Propiedades de los distintos tipos de matrices

-

(A + B )T = A T + BT
(AB )T = B T A T

-

(AB) −1 = B −1 A −1
IA=AI=A (I es la matriz identidad)
OA=AO=O (O es la matriz nula)

-

Determinantes
- El determinante solo se le halla a una matriz cuadrada.

Determinantes de matrices de dimensión 2:
a b
a b
A=
 ,|A|=
= ad − cb
c d 
c d


Determinantes de matrices de dimensión 3:

 a1

A=  a 2
a
 3

b1
b2
b3

c1 

c 2  ,|A|= a1b 2 c3 + a 3b1c 2 + a 2 b3 c1 − (a 3b 2 c1 + a 2 b1c 3 + a1b3 c 2 )
c3 


Determinantes de orden mayor que tres:
Menor correspondiente al elemento ai j ,M i j: es el determinate
la fila i y la columna j.
Adjunto

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