FUNCION INVERSA







FUNCIÓN EXPONENCIAL


Autores:
Archila Jesús
V-17.644.033

Cárdenas Maryoory
V-16.611.626

Contreras Iván
V-11.898.075

Gámez Yurbin
V-16.228.477

Villamizar Ingrid
V-14.776.328

Tutora: Nancy MartínezDe Caicedo



Julio 2012
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación  f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente odecreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
 y
.
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la funcióninversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1.  y
2. ,


Entonces:
Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
Si se cumplen simultáneamente1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.
Notación alternativa
La notación tradicional  puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
 como alternativa a  .
Propiedades algebraicas
La recíproca de la composición de dos funciones viene dada porla fórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:  y .

Propiedades analíticas de funciones realesInvertibles de una variable
Continuidad
f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación.

Gráfica de la función inversaEjemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque laprimera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

Derivabilidad
f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valoresinfinitos de las derivadas de f y g.
Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f.

Función uno a uno 

Definición:  Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada y, y diferentes coordenadas x....