FUNCION LOGARITMICA

FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Sean a y b dos números reales, y y , se define el logaritmo en base b de a como el exponente x al que hay que elevar b para obtener a. Se escribe .













Si la base b es 10, los logaritmos se dicen logaritmos decimales y en la notación no se pone la base, es decir escribiremos solo en lugar de En el caso de , a los logaritmos se les llaman logaritmos neperianos,escribiéndose o .
A partir de la definición de logaritmo se demuestran las siguientes propiedades:

















Las calculadoras solo contienen logaritmos decimales y neperianos, si se desea trabajar con otra base distinta siempre puede hacerse la siguiente transformación:








Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita figura en ellas a través del logaritmo de unaexpresión que la contenga. Para resolverlas, si es posible, con ayuda de las propiedades de los logaritmos agruparemos todos los términos de cada miembro de la ecuación en un único logaritmo, y utilizaremos la propiedad:











La función logarítmica de base b, con b  0 y b  1, es la función que a cada número positivo le hace corresponder su logaritmo en base b:
Sus características sonlas siguientes:
- Es continua, de dominio R+ y recorrido R.
- No corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0).
- Es siempre creciente si b  1 y decreciente si .
- Son simétricas respecto de OX las gráficas de e .
- Tiene como asíntota el eje OY ().












PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Escribe como potencias en base 3 los siguientes números: .
Solución: descomponemos en factores yaplicamos las propiedades de las potencias.


2.- A partir de la gráfica de la función , dibuja las gráficas de:
a)
b)
c)
d)
Solución: partimos de la función básica:
A partir de ella, la gráfica a) será del mismo tipo pero más cerrada (corta a OY en el punto ). La gráfica b) es de la misma forma que , pero trasladada 2 unidades a la izquierda , mientras que la gráfica de c) también es dela misma forma que pero desplazada 3 unidades hacia abajo. Finalmente, la gráfica d) tiene la misma forma que a) desplazada 2 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.

a)

b)


c)

d)

3.- Resuelve la ecuación exponencial siguiente:

Solución: debemos expresar ambos miembros como potencias de 2


4.- Halla la solución de la ecuación exponencial siguiente:

Solución: separaremos eltérmino y haremos el cambio .

Deshacemos el cambio para obtener las soluciones (en la segunda, al no tener solución entera, es preciso tomar logaritmos):

.
5.- Si el número de habitantes de cierto pueblo aumenta anualmente un 4% y en 1990 tenía 1250 habitantes. ¿Cuántos tendría en el año 2000? ¿Cuándo duplicará su población?
Solución: recordemos que aumentar cada año en un 4% la poblaciónequivale a multiplicarla por , ya que
En t años la población P es: que es una función exponencial.
La población en el 2000 será: habitantes.
Para hallar los años que tardará en duplicarse la población debemos resolver la ecuación exponencial: . Por no tener solución entera, será preciso tomar logaritmos en los dos miembros de la ecuación.
años
6.- Hemos comprado un coche por un importe de 24000 €.Estudiando el mercado de ocasión observamos que cada año podríamos venderlo por un 15 % menos del valor que tenía el año anterior. Halla la función que expresa esta relación entre el precio P al que lo podríamos vender y el tiempo t en años transcurridos desde que lo compramos. ¿Cuánto nos darían por él a los 5 años? ¿Cuánto tiempo tardaría en reducir su precio a 5000 €?
Solución: cada año se reducesu precio al 85 % del año anterior, es decir que su precio queda multiplicado por . Por tanto la función es .
De acuerdo con esto, su precio al cabo de 5 años será:

Para hallar el tiempo que tarda en reducirse su precio a 5000 €, debemos resolver la ecuación:

años

7.- Resuelve el sistema de ecuaciones exponenciales:

Solución: con el cambio de variables: el sistema queda:
Sus soluciones...