Funcion Logaritmica

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Función logarítmica
Ya hemos definido la función exponencial.
Supongamos que sabemos que 2x = 512, y deseamos conocer qué valor debe tener x para que la
igualdad sea verdadera.
En otras palabras, deseamos conocer a qué potencia debemos elevar la base 2 para obtener 512.
Precisamente así es como se motivó el concepto de logaritmo.

Concepto de funciónlogarítmica
Sin necesidad de calculadora, si multiplicamos al número 2 por sí mismo 9 veces obtendremos
512.
Es decir, si 2x = 512, entonces x = 9.
Esta es precisamente la definición de logaritmo.
Logaritmo
Si y = a x , entonces, se define:

Definición
1

loga y = x
y se lee: «el logaritmo del número y en la base a es igual a x.»
Podemos convertir de una forma exponencial a la forma logarítmicausando la definición anterior.
Observa que, de acuerdo a la definición de función inversa, la función exponencial es la función
inversa de la función logarimica y viceversa.
Si intercambiamos las literales, obtendremos la notación de función que hemos estado usando.
Función logarimica
Una función es logarítmica si es del tipo:

Definición
2

y = loga x
donde a > 0 es distinto de 1.
Observaque y = loga x implica que ay = x.
Esto nos indica que la función exponencial es la inversa de la función logarítmica.
Es decir, si conocemos los puntos por donde pasa la función exponencial, intercambiando la
coordenada de x por la de y y viceversa para cada punto, podremos fácilmente graficar una
función exponencial.
En otras palabras, la función y = x sirve como un eje de simetría para lasgráficas de ambas
funciones.
Grafica la función logarítmica:
y = log2 x

Ejemplo 1

Calcula su dominio y su contradominio.
• Nosotros ya habíamos graficado la función exponencial y = 2x .
• Ahora podemos cambiar los valores de las coordenadas de x por y y de y por x, y obtenemos
la siguiente tabla:
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y

x

y = log2x

0.125
0.250
0.500
1.000
2.000
4.000
8.000

−3
−2
−1
0
1
2
3

8
7
6
5
4
3
2
1

−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5

y = 2x

y

=

x

y = log2 x

12345678

x

• Como las funciones y = 2x y y = log2 x son inversas una de la otra, el dominio de la primera
es el contradominio de la primera y viceversa.
• Entonces, el dominio de la función y = log2 x es elconjunto de todos los números reales
positivos.
• Y el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

Observa que dado que y = loga x es la función inversa de y = a x se cumple:
loga y = loga ( a x ) = x
Esto es muy fácil de justificar, porque el resultado de loga ( a x ) es el exponente al cual debemos
elevar el número a para obtener a x . Pero la pregunta tienela respuesta: para obtener a x debemos
multiplicar el número a en total x veces.
Puedes memorizar fácilmente este resultado pensando que, como la función logarimica es inversa
de la función exponencial, se cancelan mutuamente:
loga y = loga ((¡) x ) = x
a
£
También recuerda que para todo a = 0 se cumple: a0 = 1. De aquí que:
loga 1 = 0
Es decir, si elevamos el número a a la potencia 0,obtenemos como resultado 1.
Esto puedes verlo de la gráfica del ejemplo anterior, anque se va a cumplir para cualquier base a
válida que demos a la función logaritmo.
Grafica la función logarítmica:
y = log3 x

Ejemplo 2
Calcula su dominio y su contradominio.

• De nuevo nos basaremos en la gráfica de la función exponencial con base 3.
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Profr. EfraínSoto Apolinar.

• El ejemplo está resuelto en la página ??.
y

x

y = log3 x

0.012
0.037
0.110
0.333
1.000
3.000
9.000

−4
−3
−2
−1
0
1
2

9
8
7
6
5
4
3
2
1

−4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4

y = 3x

y

=

x

y = log3 x

123456789

x

Observa que el argumento de la función logaritmo necesariamente debe ser positivo.
Entonces, si deseamos graficar la...