Funciones continuas

Continuidad de la función
Presentación
El estudio de limites ha permitido el análisis de una curva cuando x tiende a a, pero hasta el momento no se ha analizado que sucede con la función cuandox=a. en esta sección estudiaremos este aspecto, el cual nos indicara si la función es continua o discontinua en un punto determinado.
Una función se considera continua en x=a, si está definida, ellímite de la función existe cuando x tiende a a y ambas son iguales es decir:

a) F(a) es definida
xa

b) Lim f(x) existe
xa

c) F(a)=lim f(x)

Si alguna de estas tres condiciones no secumple nuestra función es discontinua. Un punto importante a considerar es, que la continuidad de la función puede verificarse para valores cercanos a a ya sea por la izquierda o por la derecha, esdecir, para valores mayores o menores de a (limites unilaterales)
Analicemos esto gráficamente
Ejemplo 1.15

Determine si la f(x)= x2 x2

Es continua en x = 2
f(2) =4 está definidaLim f(x)
x2
Analicemos primero la función x2
Lim x2 = 4
x2
Ahora la función (10-3x)
Lim (10-3x)
x?
Lim [10-3(2)]
x2
Lim (10-3x)=4
x2
¨ f(x) es continua en x=2
Observemos en la figura 1.16el comportamiento de la curva:

Ejemplo 1.16
Ahora analicemos la siguiente función
f(x)= 1/x cuando x=0

f(0)= 1/0 ¨ la función no está definida
f(x) es discontinua en x= 0, o discontinuaesencial
Ejemplo 1.17
Verifique la siguiente función es continua cuando x=4

De la figura 1.18 podemos concluir:
G (4) =7
Lim x+3=7 lim –x+6=2
x4- x4+
Como observaras los límitesunilaterales son diferentes los que tiene como consecuencia que:

Lim G(x) no existe
X4
¨ G(x) es discontinua en x=4.
-ejemplo 1.18Analicemos la siguiente función racional:
F(x) 2x-4/x2-3x+2 cuando x=-2

En x=-2 no está definida la función, pero si la factorizamos f(x)= 2/x-1 entonces:
Lim 2/x-1=-2/3...