Funciones Continuas

Funciones continuas
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno delos conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Ejenplos
Funciones continuas

Continuidad de una función

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 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:     |

           Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. 

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones dondesucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e m a s    d e    c o n t i n u i  d ad

 Ejercicios resueltos          En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua enel número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina  f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada. |
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S o l u c i o n e s

 1. Solución: x | -4 | 0 | 2 |
f (x) | -6 | -2 |0 |
f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en -3. | |

 2.  Solución:
x | -6 | -1 | 0 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
h(x) | -0.5 | -1 | -1.25 | -2.5 | -5 | 5 | 2.5 | 1 |
 f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusón: f es discontinua en 4. | |

 3.  Solución:x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 8 |
y | -0.5 | -1 | 0 | 1 | 0.5 | 0.1 |

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 4.  Solución:
x | -6 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 6 |
y | 0.025 | 0.125 | 0.2 | 0.25 | 0.2 | 0.125 | 0.025 |
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 5.  Solución
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Por lo tanto,  f  es discontinua en 0.

 6.  Solución:
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 7.  Solución:
x | ... | | | | | | ... |
y | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |

| | 8.  Solución:

 9.  Solución:

 10.  Solución:

 11.  Solución:

 12.  Solución:

 13.  Solución:

 14.  Solución:

 15.  Solución:

 16.  Solución:

 17.  Solución:

 18.  Solución:

 19.  Solución:

 20.  Solución:

 21.  Solución:

Ejercicios de continuidad de funciones
1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1 
2
3
4
5
6
2Estudia la continuidadde f(x) en x = 0.

3Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

4¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1 
2 
5Dada la función:

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.
6Estudiar la continuidad de la función:

7Estudiar la...