Funciones cuadraticas

LA FUNCIÓN CUADRATICA PROBLEMA Deseamos construir una pileta que tenga mayor superficie posible, sabiendo que uno de los lados mide x metros y, el otro, mide 10 metros menos la medida del primero. MODELO Uno de los lados de la pileta es igual a x metros mientras que el otro, mide 10-x metros. Para realizar el cálculo de la superficie, debemos multiplicar lado por lado, por lo que la expresión dela superficie de la pileta nos queda de la siguiente forma x(10-x) medida en metros cuadrados. Solución Por Tabulación Debemos evaluar esta expresión para diferentes valores de x, para poder encontrar el valor de la superficie máxima ver tabla de valores: Metros 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ANÁLISIS Podemos ver el valor de x que maximiza el área del rectángulo es igual a 5. Por lo tanto, el valor delárea es 25m2 Elaboró Plata Luna Iveth Vanessa 1 Superficie 0(10-0)=0 1(10-1)=9 2(10-2)=16 3(10-3)=21 4(10-4)=24 5(10-5)=25 6(10-6)=24 7(10-7)=21 8(10-8)=16 9(10-9)=9 10(10-10)=0 SOLUCIÓN GRÁFICA Observemos el gráfico de la pileta para distinto valores de x. GRAFICACIÓN EN GEOGEBRA: Función[x(10-x),0,10] Sintaxis: Función[funcion,min,max]

f ( x)  x10  x 

DESARROLLO TEÓRICO DE LA FUNCIÓNCUADRÁTICA Se llama función cuadrática a toda función que tiene la forma: 1.

f ( x)  ax  bx  c , siendo los coeficientes a, b y c números reales y siempre a  0 . Si su dominio es real, su imagen también lo es.
2

f1 ( x )  2  x 2

El dominio serán siempre los números reales, al igual que la imagen. El primer término, a  x 2 , es el término cuadrático. El segundo término, b  x es eltérmino lineal. Por último la constante c, es el término independiente de la función. Para la función f ( x)  8  x  5  x  25; a  8; b  5; c  25
2

En el caso de otra función: f ( x)  6 x  4; a  6; b  0; c  4
2

La función f ( x)  a  x

2

Vamos a estudiar distintas curvas que se obtienen cuando varia el coeficiente a dentro de la función cuadrática. Para ello, graficaremosdistintas funciones con el objetivo de notar la diferencia entre las siguientes curvas. Sean las siguientes funciones y gráficas: 1. 2. 3. 4.

2.

f 2 ( x)  2  x 2

f1 ( x )  2  x 2

f 2 ( x)  2  x 2 1 f 3 ( x)   x 2 4 1 f 4 ( x)    x 2 4

Elaboró Plata Luna Iveth Vanessa 2

3.

1 f 3 ( x)   x 2 4

En cambio cuando es positivo, las ramas van hacia arriba, como enel caso de f1 ( x)  2  x y f 3 ( x) 
2

1 2 x 4

También es posible ver cómo el valor que tome a modifica la apertura de la parábola: Si a es menor que la unidad en valor absoluto, es decir a  1 , la función se abre mucho mas. Esto sucede en

1 f 3 ( x)   x 2 4

y

1 f 4 ( x)    x 2 4 . Si a  1 , la función se cierra mas, como sucede con
4.

1 f 4 ( x)    x 2 4

2 f1 (x)  2  x 2 f 2 ( x)  2  x

El dominio de las cuatro funciones son todos reales. Para f1 ( x)  2  x

2

1 f 3 ( x)   x 2 2 4 la imagen son reales positivos y, para f 2 ( x)  2  x y 1 f 4 ( x)    x 2 4 la imagen son reales negativos.
En la función cuadrática son valores simétricos aquellos que, siendo del dominio de una función, poseen la misma imagen. Para estas cuatrofunciones el subconjunto de valores positivos y el subconjunto de negativos son simétricos, ya que tienen idéntica imagen. ANALISIS DE LAS GRÁFICAS CRECIMIENTO, DECREMENTO Y EXTREMO Podemos ver cuando a es negativo, las ramas de la función cuadrática van hacia abajo. Este es el caso de f 2 ( x)  2  x y f 4 ( x)    x 2
2

1 4

Como pudimos notar en los gráficos anteriores de las funcionescuadráticas, éstas son, en un tramo crecientes y en otro, decrecientes. De esta forma, tienen un valor máximo o un valor mínimo para toda función que llamaremos extremo.

Elaboró Plata Luna Iveth Vanessa 3

2 1 En la gráfica f1 ( x)  2  x y f 3 ( x)   x 2 podemos observar que para los

f1 ( x)  x 2  3

4 valores negativos del dominio f1 ( x) es decreciente y para los valores...