Funciones cuadraticas

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 . |
Lasfunciones f(x) = x2 + 6x,  g(x) = x2  + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
Gráfica de las funcionescuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x | -3 | -2 | -1 | -0'5 | 0 | 0'5 | 1 | 2 | 3 |
f(x) = x2 | 9 | 4 | 1 | 0'25 | 0 | 0'25 | 1 | 4 | 9 |

Esta curva simétrica sellama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |Completando la gráfica obtengo:

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax2 + bx + c
Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .
Igualando:a x2 + b x + c = c → a x2  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.
La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmentode extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a |
Ejemplo
Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funcionescuadráticas
Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.Lasramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. |
Un resultado importante
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier paráboladel tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

Por ejemplo:
La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra...