Bessel

9 Soluciones en serie de ecuaciones lineales II
9.1. Ecuación indicial
Si x = 0 es un punto singular regular de la ecuación y + P (x)y + Q(x)y = 0, entonces p(x) = xP (x), q(x) = x2 Q(x) son analíticas en x = 0:

p(x) = xP (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . , q(x) = x2 Q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . .
La ecuación indicial general es

r(r − 1) + a0 r + b0 = 0,

y las soluciones se llamanraíces indiciales.

Ejemplo:
La ecuación indicial de la ecuación xy + y = 0:

xP (x) = 0, x2 Q(x) = x, entonces a0 = 0 y b0 = 0.
La ecuación indicial es r(r − 1) = 0. Las raíces indiciales son r1 = 1 y r2 = 0.

9.1.1. Existencia de soluciones según la naturaleza de las raíces indiciales
Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación. Las raíces indiciales son r1 y r2 reales. Tres casos:Caso 1: r1 − r2 no es un número entero. Entonces existen dos soluciones linealmente independientes y1 (x)
∞

e y2 (x) de la ecuación de la forma
n=0

cn xn+r .

Caso 2: Si r1 − r2 = N , N entero, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación con la forma:
∞

y1 (x) =
n=0

cn xn+r1 , c0 = 0,
∞

y2 (x) = Cy1 (x) ln x +
n=0

bn xn+r2 , b0 = 0

donde puede que C= 0. Caso 3: Si r1 = r2 , siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación que tienen la forma:
∞

y1 (x) =
n=0

cn xn+r1 , c0 = 0,
∞

y2 (x) = Cy1 (x) ln x +
n=0

bn xn+r2 , b0 = 0.

1

9.2. Ecuación de Bessel
x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = 0, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación
∞

ν≥0

Existe al menos una solución de la ecuación de laforma
n=0

cn xn+r

Como xP (x) = 1 y x Q(x) = x − ν , la ecuación indicial es

2

2

2

x2 − ν 2 = 0
Las raíces son r1 = ν y r2 = −ν Sea r1 = ν , entonces:

x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = = xν (1 + 2ν)c1 x + =0 (1 + 2ν)c1 = 0 (k + 2)(k + 2 + 2ν)ck+2 + ck = 0 −ck , k = 0, 1, 2, . . . (k + 2)(k + 2 + 2ν)
∞ n=0 [(k

+ 2)(k + 2 + 2ν)ck+2 + ck ]xk+2 =

  (1 + 2ν)c1 = 0  ck+2 =

Sic1 = 0 → c3 = 0, c5 = 0, c7 = 0, . . . c2n−2 Si k + 2 = 2n → c2n = 2 , n = 1, 2, . . . 2 n(n + ν)

c2n =

(−1) c0 , n = 1, 2, 3, . . . 22n n!(1 + ν)(2 + ν) . . . (n + ν) 1 → Γ(x) = ν Γ(1 + ν) 2
∞ 0 n

n

Se elige c0 =

tx−1 et dt

(−1) = 22n+ν n!(1 + ν)(2 + ν) . . . (+ν)Γ(1 + ν) Por la propiedad Γ(1 + α) = αΓ(α), n (−1) , n = 0, 1, 2, . . . = 2n+ν 2 n!Γ(1 + ν + n) c2n =

9.2.1.Funciones de Bessel de primera clase
Función de Bessel de primera clase (de primera especie) de orden ν :

Jν (x) =

(−1) x n!Γ(1 + ν + n) 2 n=0

∞

n

2n+ν

Función de Bessel de primera clase o de primera especie de orden −ν :

J−ν (x) =

(−1) x n!Γ(1 − ν + n) 2 n=0

∞

n

2n−ν

2

Son convergentes en [0, ∞)

Observaciones:
Si ν = 0, las dos soluciones son iguales Si ν >0 y además r1 − r2 = ν − (−ν) = 2ν no es un entero positivo, Jν (x) y J−ν (x) son soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel en (0, ∞) (Caso I) , la solución general en el intervalo es y = c1 Jν + c2 J−ν Si r1 − r2 = 2ν es un entero positivo, sólo se puede asegurar que exista una segunda solución en forma de serie:

• Si ν = m es un entero positivo, J−m (x) y Jm (x) no sonlinealmente independientes (J−m (x) = KJm (x)) • Se puede demostrar que si 2ν es un entero positivo impar, Jν y J−ν son linealmente independientes
La solución general es y = c1 Jν (x) + c2 J−ν (x), ν = entero

Ejemplo: La solución general de la ecuación
x2 y + xy + x2 −
es donde:

1 4

y=0

y = c1 J1/2 (x) + c2 J−1/2 (x)

J1/2 (x) =

(−1) x n!Γ(3/2 + n) 2 n=0 (−1) x n!Γ(1/2 + n) 2n=0
∞ n

∞

n

2n+1/2

J−1/2 (x) =

2n−1/2

9.2.2. Funciones de Bessel de segunda clase
Si ν = entero, la función

Yν (x) =

cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) sen(νπ)

y la función Jν (x) son linealmente independientes y soluciones de la ecuación de Bessel, por tanto, otra forma de la solución general es: y = c1 Jν (x) + c2 Yν (x)

Yν se llama función de Bessel de segunda clase
Si ν...