Funciones de Logaritmos

FUNCIONES LOGARITMICAS




Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el“logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.


Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A quéexponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.


Nota: El dominio de una funciónlogaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.









Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:





Ejerciciode práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:


Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:



Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:










Solución de ecuaciones logarítmicas simples

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.
2) Halla el valorde b si logb 8 = 3.
3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Ejercicio de práctica:

1) Halla el valor de y si log3 27 = y.
2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.
3) Halla el valor de x si log2 x = -3.


Propiedades de las funciones logarítimicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:

1) logb 1 = 0
2) logbb = 1
3) logb bx = x
4) logb MN = logb M + logb N

6) logb Mp = p logb M
7) logb M = logb N si y sólo si M = N


Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar:

1) log5 1 =
2) log10 10 =
3) log10 0.01 =


Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:

1) log10 1 =
2) log5 25 =
3) log10 10 -5 =







Ejemplo para discusión:Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1) logb 5x =
2) logb x9 =



Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:




Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1) log3 (x) + log 3 (6) =
2) log3 (24) - log3 (4) =
3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =


Ejercicio depráctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1) log10 (5) + log10 (3) =
2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =
3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =






Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchascalculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 x
Logaritmo natural: ln x = loge x

Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:

1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =


Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =
2) ln 28.693 =
3)...