variable compleja

Dr. Luis Paihua M.

1

Números Complejos

   z  x  i y / x, y  , i  1
2

Parte Real:

Operaciones:

 e( z )  x

Parte Imaginaria:

m( z )  y

Si z1  x1  iy1 , z2 x2  iy2

Suma: z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 
Producto: z1 z2   x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  x2 y1 
Conjugado:

z  x i y

División:

Dr. Luis Paihua M.

z1 z1  z 2

z2z2  z2
2

z  xi y
y


x
Módulo: |z|= x 2  y 2

 y
Argumento principal:  = tan   ,      
 x
1

 x  r cos( )

 y  r sen( )

z  r  cos( )  i sen( )   re
Forma Polar
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i

Forma Exponencial
3

Algunas propiedades en los complejos

1:

z1  z 2  z 1  z 2

2:

3:

z z  | z |2

4 : | e i | 1

5:

z 1 z 2 | z1 | | z 2 |

6:

z1 z 2  z1 z 2
z1
| z1 |

z2
| z2 |

7 : Arg ( z1 z 2 )  Arg ( z1 )  Arg ( z 2 )
 z1 
8 : Arg    Arg ( z1 )  Arg ( z 2 )
 z2 
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4CURVAS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO

| z | 4

Representa la ecuación de los complejos que están en la
circunferencia de radio 4 y centro el origen.

| z | 4

Representa la regiónllamada disco cerrado de radio 4 y
centro el origen.

| z | 2

Representa la parte exterior del disco abierto de radio 2 y
centro el origen.

2 | z | 4

Representa la corona (anillo)circular cerrada de
centro el origen y radios comprendidos entre 2 y 4.

¿Qué representa la siguiente ecuación ?



4 zz



2



9 z  z



Dr. Luis Paihua M.

2

 144
5Solución de zn-w=0 (raices de w)
Sea el complejo w=r0eθi luego las soluciones a la
ecuación dada son:

 0 2k 


1/ n  n 

zk  (r0 ) e

, k  0,1,...,(n -1)

Observar que algraficar estos n complejos se tiene
el disco dividido en n sectores iguales.
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6

Resolver la ecuación z3 -2=2*31/2i
Debemos hallar las raíces cúbicas de (2+2* 31/2 i)=2 e(π/3)i...