Variable Compleja

[pic]

1. Halle el valor numérico de las siguientes integrales:

a) [pic]estableciendo las condiciones con las cuales el resultado es válido.

b) [pic], considere c como circunferenciaunitaria.

c) [pic]

2. Sean [pic] armónica y con derivadas parciales continuas de segundo orden por lo menos en la región R simplemente conexa:

a) Mostrar que [pic] es independientedel camino en R que une (a,b) con (x,y).
b) Probar que u+iv es una función analítica de z=x+iy en R.
c) Probar que v es armónica en R.

3. Probar la primera identidad de Green,
[pic] ,donde la región R es acotada por una curva cerrada simple C y n es la normal, s es el parámetro de la longitud de arco.
4. Halle el valor de las siguientes integrales:
a) [pic], siendo t>0 y C esuna circunferencia de radio 3.

b) [pic] , donde C es una circunferencia de radio 4 y [pic]

[pic]

1. Halle el valor numérico de las siguientes integrales:

a)[pic]estableciendo las condiciones con las cuales el resultado es válido.

Resolvemos:

Cambio de variable si [pic]

Reemplazando tenemos:

[pic]

[pic]

[pic]

b) [pic], considere c comocircunferencia unitaria.

Solución:

Dada la función

[pic]

F (z) es derivable dentro de C, además C es una curva cerrada : los polos de F(z) =-1+i; -1-i están fuera de C[pic]

ENTONCES POR EL TEOREMA DE CAUCHY SE TIENE

[pic]

2. Sean [pic] armónica y con derivadas parciales continuas de segundo orden por lo menos en la región R simplementeconexa:

a) Mostrar que [pic] es independiente del camino en R que une (a,b) con (x,y).

Sabemos:

[pic] = [pic]

P = [pic] y Q = [pic]

[pic] = [pic] y[pic] = [pic]

[pic] = [pic] y [pic] = [pic]

Luego restamos ambos lados y obtenemos lo siguiente

[pic] = [pic] [pic] = [pic]

Del dato sabemos...