Funciones elipticas

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Índice Pág.
Introducción………………………………………………………………2
Funciones Elípticas……………………………………………………..2
Aproximación al perímetro de una elipse
Regla de Simpson………………………………………………………..8
Método del Trapecio…………………………………………………….9
El descubrimiento de la función elíptica en 1718………………11
Contribución de Euler en 1753……………………………………….17
Funciones Elípticas: Teoremas de Estructura………………….18Funciones en el Plano Complejo…………………………………….19
Función Entera…………………………………………………………..19
Función Holomorfa……………………………………………………..19
Función Meromorfa……………………………………..……………..19
Fórmula Integral de Cauchy………………………………………..20
Teorema de Liouville…………………………………………………..21
Singularidades…………………………………………………………..23
Orden de una función elíptica……………………………………...24
Teorema del Residuo……………………………………………………24Funciones Elípticas al estilo Weierstrass………………………...27
Funciones Elípticas de Jacobi………………………………………..34
Gráficas……………………………………………………………………..36
Mapas de ceros y polos…………………………………………………38
Fórmulas de adición para funciones elípticas…………………39
Aproximación Histórica de la enseñanza de f. elípticas….41
Bibliografía Consultada………………………………………………42
Introducción
En este trabajo se trata demostrar, de manera sencilla, un acercamiento a un tipo de funciones que llamamos elípticas. Tiene relación con la curiosidad de medir la longitud del arco de una elipse, mediante integrales. Las investigaciones sobre este tema son variadas y se trabajan en el campo de las funciones de variable compleja. Se demostrará como al calcular la longitud de curvas, como elipses, circunferencias, lemniscatas,obtenemos integrales elípticas, origen de estas funciones. Aunque no llegaremos a ver el tema en profundidad, nos bastará acercarnos al conocimiento y planteo de teoremas de sus descubridores, grandes matemáticos, como Jacob Bernoulli, Joseph Liouville, Karl Weierstrass, Carl Jacobi, Niels Henrik Abel, Leonhard Euler, Agustín Louis Cauchy y otros.
Funciones Elípticas

Al igual que muchosobjetos matemáticos las funciones elípticas nacieron dos veces: la primera en el siglo XVIII y una segunda vez al comenzar el siglo XIX. Se dará una idea de su nacimiento y su renacimiento, para lo cual usaremos la teoría de funciones de variable compleja, y entre otras, la teoría de Weierstrass, los esenciales resultados de los teoremas de Liouville y el teorema de Abel.
Su origen: Las IntegralesElípticas
Cuando se hicieron conocidas las leyes de Kepler, que tratan la idea que todos los planetas giran alrededor del sol, describiendo órbitas elípticas, y estando el sol situado en uno de sus focos, surge el interés por medir dichas órbitas, utilizando el cálculo integral.
La medición del arco de elipse fue realizada por John Wallis en 1655 y su expansión en series por Newton y tambiénLeonhard Euler. De manera general, la ecuación de la cónica

y2=2px+e2-1x2, p≠0

Donde e es la excentricidad (e=c/a) de esta cónica y p=b2/a es su parámetro tomando a a como el semieje mayor y b como el semieje menor, cuando ésta tiene centro.
Podemos parametrizar la cónica tomando t= yx
y considerando a x = yt e y= t.x, tenemos que
t.x2=2px+e2-1yt2
t2.x2=2pyt+e2-1y2t2
Tomando t2,común denominador y operando, obtenemos:
t2.t2x2=2py.t+e2-1y2 reemplazando y = t.x
t2.t2x2=2p.t.x.t+e2-1y2
t2.t2x2=2pxt2+e2-1y2
t2.t2x2- 2pxt2=e2-1x2t2 factor común t2y x, luego cancelando
t2(t2x2- 2px)=e2-1x2t2
x(t2x- 2p)=e2-1x2
(t2x- 2p)=e2-1x
t2x- e2-1x=2p
x(t2- e2-1)=2p

y x = 2p(t2- e2-1 equivalente a x = 2pt2+ 1-e2 reemplazando en t.x= y
obtengo y = t. 2p(t2- e2-1 → y= 2pt(t2- e2-1
Con x=2pt2+1-e2 y= 2p tt2+1-e2

y dxdt= -2p.2t(t2+1-e2)2 dydt= 2p (t2+1-e2-2pt.2t)(t2+1-e2)2
Nombramos a:
D :=Dt= t2+1-e2
Y teniendo en cuenta que la longitud de arco de la cónica esta dada por
ds2= dx2+dy2, que en este caso es igual a:
ds2 = (2p)2[t2+1+e2][t2+1-e2]D4 dt....
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