Funciones exponenciales

FUNCIONES EXPONENCIALES


Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variableelevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo defunción llamada función exponencial.


Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x






Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente deuno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bxaumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.


Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos,donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:


2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.


Ejemplopara discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8
2) 10x = 100
3) 4 x - 3 = 8
4) 5 2 - x = 125

Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:1) 2x = 64
2) 27 x + 1 = 9



La función exponencial de base e

Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler(1727).


Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.


Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) =...