Funciones Exponenciales

“FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS”

Funciones Exponenciales:

Expresiones del tipo y=x donde “x” es una variable llamada base y “n” una constante llamada exponente, si intercambiamos de lugar la base y el exponente obtenemos una expresión del tipo Y=n la cual recibe el nombre de función exponencial, siendo muy importante su estudio para la solución de muchos problemas.

Definición:Si a>0 entonces la función exponencial con base a se define como: y=(x)=a donde x es cualquier número real

Su dominio son los número reales D= (-00,00), su imagen o rango son los número reales positivos R=(0,00).

Observando que para a>1 si “x” crece “y” también lo hace rápidamente y si “x” disminuye “y” se acerca a cero lo cual se ilustra con las siguientes gráficas:

1) Dibuje lasgráficas de las funciones exponenciales y =2 y y =3, sobre el mismo
sistema coordenado.



Se observa que el eje de las equis, de ecuación 0=y es asíntota horizontal de este tipo de curvas.

La función exponencial de base e:
Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x,  la ecuación f(x) = ex  define a la función exponencial de base e. La gráfica de f(x) = ex  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función  f(x) = ex  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de; f(x) = ex  está entre f(x) = 2x  y  f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1 F(x)= 2^x

* Dom: R
* Rec: R+
* F(x):crec
Funciones logarítmica:Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para estetipo de inversas.  Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), Si f(x) = bx, se escribe log. (n).

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

Grafica de la funciónlogarítmica y = b log x , con 0 < b < 1
F(x)= x log !

Dom : R+
Rec: R
F(x) creciente en se dominio
Asintótica al eje Y
Cóncava hacia arriba
El punto de intersección con el eje X es el punto (1, 0)
F(x) = x log !

Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tieneque:
* La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
* Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
* En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 =0, en cualquier base.
* La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
* Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones condos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:
* Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
* Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
* Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre...