funciones exponenciales

. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Decimos que una función f pertenece a la familia de las funciones exponenciales si se puede expresar analíticamente de la forma:                          

, con k, a y cnúmeros reales, siendo k # 0, a > 0 y a # 1.
La expresión anterior no resulta la más apropiada para nuestros propósitos: la relación entre las gráficas de esta familia y los movimientos del plano;es por ello que consideraremos que una función es de esta familia si es de la forma:

 
, donde a, b y c son números reales.
Esta última expresión no es exactamente equivalente a la anterior,pues los casos en los que k < 0 no están contemplados aquí. La justificación de esto último no es del todo inmediata.
En primer lugar, si observamos la gráfica de la función y = 2x en la escenasituada al pie de este texto, vemos que esta función tiene como recorrido el intervalo (0, +oo), por lo tanto para todo número positivo d existe un número real D tal que: d = 2D. De esta forma k. ax + c= 2K . (2A)x + c = 2K + Ax + c, para ciertos K y A números reales. A partir de aquí es evidente que ambas expresiones son equivalentes siempre que k > 0.
Para el estudio de la representacióngráfica de esta familia de funciones, utilizaremos en este caso como función base
y = 2x

 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Antes de definir la función logarítmica, es necesario introducir el concepto de logaritmode un número.
Para su definición vamos primeramente a demostrar que dados a > 0, a# 1 e y > 0 números reales, existe un número real x tal que: ax = y.
Como ya sabemos por el apartado anteriorexisten b y c números reales tales que
2b = a  y  2c = y.
Por lo tanto
 y = 2c = 2c.b/b = (2b)c/b = ac/b.
Tomando x = c/b, tenemos que ax = y, y diremos que x es el logaritmo en base a de y, y loescribiremos por loga (y).
Por lo tanto, a partir de su definición, diremos que x = loga (y) si y sólo si  ax = y.
Así por ejemplo: log2 (4) = 2,  log10 (1000) = 3 o log1/2 (8) = -3.
Si a = 10...