funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son una de la familia de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto.
En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.


La funciónexponencial, es conocida formalmente como la funciónreal ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa dellogaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendoa, K∈Rnúmeros reales, con a> 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Propiedades
Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientespropiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)


............. es al revés

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver cuestiones de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, degeología, y de cualquier área social donde hay que relacionar variables.


• Las funciones exponenciales se aplican generalmente en modelos de crecimiento y decrecimiento en diferentes áreas, por ejemplo: en la veterinaria para calcular la reproducción en un grupo de animales, o proyecciones de población, perdidas en una guerra en curso, o en ingeniería para calcular el tiempo que tarda una masaen llegar a cierta temperatura.

• La función exponencial es la inversa del logaritmo natural.
Una función de tipo y = ax (a < 0, a ≠1) se denomina una función exponencial. Cuando a>1, la función exponencial creciente, mientras que si a < 1, se llama función exponencial decreciente.
a>b>1. Se advierte que si x>0, estas dos funciones, y 0 ax y y = bx, con mayor a medida que x se incrementa.1.-La población de cierta ciudad en el tiempo “t” (medidos en años) está dado por medio de la formula.
Calcule la población:
Cuanto es t = 10
t = 15
Formula:

t=15




t=10



2.- La población de cierta nación en desarrollo se determinó que está dada por medio de la formula


Donde t es el número de años medidos a partir de 1960. Determine la poblaciónen 1980 y la población proyectada en 2000, suponiendo que esta fórmula continua cumpliéndose hasta entonces.


De modo que en 1980, la población seria de 22.4 millones. Después de 20 años más, t = 40 y así


Por tanto en el 2000, la población proyectada será de 33.4 millones




Las funciones exponenciales están implicadas en el interés compuesto, en el cual el interés que genera unacantidad de dinero invertida (capital o principal), se invierte nuevamente de modo que también genere intereses. Así el interés es convertido(o compuesto) en capital y, por tanto hay “interés sobre el interés”
Su fórmula es:
CF = Co (1 + i) nt
100
En donde:
CF= ES EL CAPITAL FUTURO
CO= EL DINERO ACTUAL
I= INTERÉS
T= ES EL TIEMPO (AÑOS)

Ejemplo:
Una personainvierte $100 a una tasa de 5% compuesto (capitalizable) cada año. Al final del primer año, el valor de la inversión es del capital original ($100), más el interés sobre el capital:
100 + 100(0.5) = $105.
Esta es la cantidad sobre la cual se genera el interés para el segundo año. Al final del segundo año, el valor de la inversión es el capital del final del primer año ($105), más el interés...