Funciones hiperbólicas

Capítulo 1

Funciones Hiperbólicas
De…nición 1.1. Las funciones seno hiperbólica, coseno hiperbólica, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica,respectivamente, se de…nen como: 1. senh x = ex 2 ex + e 2 senh x , cosh x cosh x , senh x 1 , cosh x 1 , senh x
x

y

10

y
4 2

e

x

,

x 2 R.
-4 -2 2 4

2. cosh x = 3. tanh x = 4.coth x = 5. sech x = 6. csch x =

,

x 2 R. x 2 R. x 6= 0. x 2 R. x 6= 0.

x

-4 -2

0

2

4

-10

x

y = senh x

y = cosh x

y

2 1

y
2

-4 -2 -1 -2

2

4

x-4

-2 -2

2

4

x

Observación 1.1. Para la grá…ca de la función senh, tenemos que: e x ex senh ( x) = = senh (x), luego el seno 2 hiperbólico es una función impar. Dx senh x = Dx e
x

y= tanh x

y = coth x

y2
1

y
2 1 -4 -2 -1 2 4

e 2

x

=

para todo x 2 R, luego la función seno hiperbólico es creciente sobre R. D2 senh x = Dx e2x 1 , luego 2ex D senh x = 0 , x =0, lo que implica que D2 senh x < 0 para x < 0, y D2 senh x > 0 para x > 0, por lo tanto (0; senh (0)) = (0; 0) es un punto de in‡ exión de la función seno hiperbólico. Luego la grá…ca del senohiperbólico es como se muestra: 1
2

e +e > 0, 2 | {z }
cosh x

x

x

-4 -2

0

2

4

x

x

-2

ex + e 2

x

=

ex |

e 2 {z

x

y = sech x =

y = csch x

senh x}

1.1

Identidades hiperbólicas
senh2 x = 1.

1. cosh2 x

2. sech2 x + tanh2 x = 1. 3. coth2 x 4. senh (x 5. cosh (x csch2 x = 1. y) = senh x cosh y y) = cosh x cosh y cosh x senh y. senh xsenh y.

6. senh (2x) = 2 senh x cosh x. 7. cosh (2x) = cosh2 x + senh2 x. 8. cosh (2x) = 2 senh2 x + 1. 9. cosh (2x) = 2 cosh x 10. tanh x = 11. coth x = 12. senh x
2

Solución 1.1. Se tieneque tanh4 x = (1 sech2 x)2 = 1 2 sech2 x + sech4 x = 1 2 sech2 x + sech2 x 1 = luego I = Z dx Z sech xdx
2

tanh2 x

1.

1

sech2 x

tanh2 x sech2 x

senh (2x) . 1 + cosh (2x) senh (2x) ....