Funciones Inversas

4
4.1

Funciones Inversas
Definición de función inversa

Muchas veces, estando dos variables ligadas por una relación funcional y = f (x), es conveniente
explicitar la relación en la variable implícita: x = g (y) . Sólo por dar un ejemplo. Sabido que
la posición x transcurrido un tiempo t surge de la relación x = x0 + vt, se quiere averiguar
cuánto se tardará, bajo las mismas condiciones,en llegar a un punto x partiendo desde x0 .
La solución del problema es una función inversa: t = x−x0 . En este capítulo estudiaremos
v
aspectos generales del proceso de inversión de funciones y su aplicación a las funciones que
venimos estudiando y a otras nuevas.
Si se piensa a una función f : A → B como una acción que transforma los puntos de
un conjunto A en puntos de otro conjunto B ,será fácil imaginar una acción inversa que los
devuelva a su forma original. Para que esa acción inversa esté bien definida también ella como
una función, digamos, g : B → A, será necesario que f no haya mezclado puntos. Porque si
hay dos puntos distintos, x1 y x2 tales que f (x1 ) = f (x2 ) = y , g no tendrá cómo decidir si
g (y ) = x1 ó g (y ) = x2 . Las funciones que no mezclan puntos, esdecir que no envían puntos
diferentes a la misma imagen, se llaman inyectivas o uno a uno. Hay un modo de decirlo sin
negaciones:

Definición 1: Una función f es inyectiva si

f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2.

(1)

Si la miramos sobre el gráfico, la condición de inyectividad se manifiesta de la siguiente
manera: f es inyectiva si ninguna recta horizontal corta al gráfico en más de un punto. Lax−
función . y = 3x−11 es inyectiva (fig. 4.1), pero y = x3 − x no lo es (fig. 4.2).

Capítulo 4. Funciones inversas

y

y

x

x
Función no inyectiva: existe
alguna recta horizontal que corta
al gráfico en más de un punto

Función inyectiva: si una recta
horizontal corta al gráfico, lo
hace en un solo punto.
figura 4.1

figura 4.2

Si una función f : A → B es inyectiva, sepuede definir una función g desde su rango que
traiga a los puntos de regreso. En efecto, dado y ∈ Rgf , existe x ∈ A tal que f (x) = y. Pero
por la inyectividad ese x es único. Se definirá entonces g (y ) = x. La función g así definida
se llamará la inversa de f . y su dominio será Rgf . Ya que g trae de regreso a x hasta su
sitio de partida, aplicar sucesivamente la función y su inversa da unresultado inocuo. Esto es,
g ◦ f (x) = x

y

f ◦ g (y ) = y

(2)

Es clara la simetría de roles de f y g . La condición de ser inversa es recíproca.y se caracteriza
por las relaciones (2).
Definición 2. Dos funciones f : A → B y g : B → A son inversas una de la otra
si
g ◦ f (x) = x
f ◦ g (y ) = y

para x ∈ A y

para y ∈ B.

Para indicar esta situación se usará la notación g = f −1 .Una manera alternativa de expresar el hecho de que g es la inversa de f es la siguiente:
y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) .

(3)

Ejemplos.
1. La función f (x) = x3 es inyectiva y admite una inversa: g (x) =
√
3
x3 = x,
104

¡ √ ¢3
3
x = x.

√
3
x.

4.1. Definición de función inversa

2. La función f (x) = x2 no es inyectiva. Cualquier recta horizontal y = r con r > 0
corta a laparábola y = x2 en dos puntos. Sin embargo se habla de la raíz cuadrada de
x si x ≥ 0. Lo que ocurre es que la restricción de f al intervalo [0, +∞) sí es inyectiva
√
y g (x) = x es su inversa:
√
x2 = x,

¡√ ¢2
x = x,

x ≥ 0.

Decir "f es inyectiva en A" es más cómodo que decir "la restricción de f al conjunto A
es inyectiva".
Definición 1 bis. La función f es inyectiva en el conjunto Asi
[x1 , x2 ∈ A ∧ f (x1 ) = f (x2 )] =⇒ x1 = x2 .
Entonces, dada una función cualquiera, buscando un adecuado subconjunto del dominio
donde ella sea inyectiva, se puede obtener una inversa.
Teorema 1. Si f es inyectiva en el conjunto A, su restricción f |A tiene una
inversa g : f (A) → A. Es decir, una función g con dominio en f (A) tal que
g (f (x)) = x, para x ∈ A y f (g (x)) = x, para...