Funciones lineales

 
Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio sontambién todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a  a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4

Definición:  Las funcioneslineales son polinomios de primer grado.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3     f(x) =  2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para quela expresión quede de una forma mas sencilla,   f(x) =  9x + 2 
Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todoslos números  reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado.  Para graficarla haremos una tabla de valores.
f: R ——> R / f(x) = 2x-6
Le vamos dando valores a "x".   ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio.  
Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6        f(5) = 4

f: R —> R  /  f(x) = a.x+b
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es  proporcional   al incremento de los valores en el codominio, siempre que a  no sea cero.
Este número a se llama pendiente ocoeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5   si x es 3,  entonces f(3) = 2.3+5 = 11
                      si x es 4,  entonces f(4) = 2.4+5 = 13
                      si x es 5,  entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2unidades.
Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g: g(x) = -3x+7  si  x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 =  0+7 = 7
                       si  x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
                       si  x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, elresultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.
h: h(x) = 4          si  x= 0   ,  entonces h(0) = 4
                      si  x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x),   NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos. Esto es, entre el...