Funciones, matematica

Funciones:
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:
Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de algún modo un elemento único de un conjunto B, se dice que esa correspondencia es una función. Denotando esta correspondencia por f, se escribe
f: A → B
que se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A se llama dominio de definición de la función f, y B se llama codominio de f. Porotra parte, si a ε A, el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a y se denota por
f (a)
que se lee (f de a) .
Ejemplos:
Ej. 1-1: sea f el hacer corresponder a cada número real su cuadrado, esto es, para cada número real x sea f(x) = x2. Dominio de definición y codominio de f son ambos los números reales, de modo que se puede escribir:
f: R → R´

a xb y
c z
d



FUNCIONES IGUALES:
Si f y g son funciones definidas en el mismo dominio D y si f (a) = g(a) para todo a ε D, entonces las funciones f y g son iguales y se escribe
f = g
1 1
22
3
4

DOMINIO DE IMÁGENES DE UNA FUNCIÓN:
Sea f una aplicación de A en B, es decir, sea f: A → B. No es preciso que todo elemento de B sea imagen de un elemento de A. Ahora bien, el conjunto de los elementos de B que son imágenes de un elemento de A por lo menos, se llama dominio de imágenes de f. Se simboliza el dominio de imágenes de f: A → B por:f (A)
Es de observar que f(A) es un subconjunto de B.

FUNCIONES INYECTIVAS:
Sea f una aplicación de A en B. Entonces f se dice inyectiva si elementos distintos de B corresponden a elementos distintos de A, es decir, si dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas. Dicho brevemente, f: À → B es inyectiva si f (a) = f(a’)implica a = a’, o lo que es lo mismo, si a ≠ a’ implica f (a) ≠ f(a’).

Ejemplos:
Ej. 1-1: Sea la función f : R → R definida por la formula f(x) = x2. F no es inyectiva, pues f(2) = f(-2) = 4, osea que dos números reales diferentes, 2 y -2, tienen la misma imagen, el número 4.

FUNCIONES SOBREYECTIVAS:
Sea f una función de A en B. El dominio de imágenes f(A) de la función f es unsubconjunto de B, esto es, f (A) С B. Si f (A) = B, es decir si todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A se dice que entonces “f es una función sobreyectiva de A en B” o que f es una función de A sobre B. O bien que “f aplica A sobre B”.
Ejemplos:
Ej: Sea la función f R →R definida por la formula f (x) = x2, f no es sobreyectiva porque los números negativos no aparecenen el dominio de imágenes de f, esto es, ningún numero negativo es cuadrado de un numero real.
FUNCIÓN IDÉNTICA:
Sea A un conjunto cualquiera. La función f: A→A definida por f (x) = x, o sea la función f que hace corresponder a cada elemento de A el mismo elemento, se llama función idéntica o transformación idéntica sobre A. Se le denota por 1 o también por 1A.

FUNCIONES CONSTANTE:Una función de f de A en B se llama función constante si a cada elemento de A se le asigna el mismo elemento b ε B. O dicho de otro modo: f : A → B es una función constante si el dominio de imágenes de f consta de un elemento solamente.

Ejemplos:
Ej.1-1: Sea f la función definida por el diagrama

a 1
b 2
c 3

FUNCIONES PRODUCTO COMPOSICIÓN:
Sea f una función de Aen B y sea g una función de B, el codominio de f, en C, como se ilustra en seguida:
C
A

B
f g


Sea a ɛ A; su imagen f (a) está en B, que es el dominio de definición de g. De acuerdo con esto, se puede encontrar la imagen de f (a) por la aplicación g, es decir, se puede hallar g(f (a)). Así se tiene, pues, que a cada elemento a ɛ A se hace corresponder un elemento g(f...