Funciones Trigonométricas Inversas

An
tioq
uia

Funciones trigonom´ticas inversas
e
Instituto de Matem´ticas*
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ 25 de julio de 2011
ın,

1.

Introducci´n
o

2.

rsid

ad

de

La trigonometr´a es el campo de las matem´ticas que tiene como objeto
ı
a
de estudio a los tri´ngulos y la relaci´n entre sus lados y los ´ngulos que
a
oa
estos forman, as´ como las funciones que surgen de dichas relaciones (funı
ciones trigonom´tricas). Su origen etimol´gico deriva de los vocablos griegos
e
o
τ ριγωνo (trig¯non) que significa tri´ngulo y µετ ρoν (metron) que significa
o
a
medida.
La historia de la trigonometr´ y en particular de las funciones trigoıa
nom´tricas puede abarcar un per´
e
ıodo de alrededor de 4000 a˜ os.Esta discin
plina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de s´lo un grupo de indivuiduos o una cultura,
o
sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las
magnitudes de tri´ngulos rect´ngulos, pero carec´ del concepto de medida de un´ngulo. La tablilla
a
a
ıan
a
babilonia Plimpton (figura ??) contiene una columna de n´meros que se cree, constituye una de los
u
primeros registros sobre funciones trigonom´tricas.
e
Los astr´nomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos
o
de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requer´ familiaridad con la medici´n de distanıan
ocias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arqu´
ımides no incluyen trigonometr´ en el sentido
ıa
estricto de la palabra, contienen problemas geom´tricos que son enunciados por medio de leyes trie
gonom´tricas. Las primeras tablas trigonom´tricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de
e
e
Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de la trigonometr´a.
ıConceptos b´sicos
a

ive

Recordemos que la funci´n inversa de una funci´n biun´
o
o
ıvoca f : X → Y de f , denotada por f −1 ,
−1
es la funci´n f : Y → X definida por:
o
⇐⇒

Un

f −1 (y) = x

y = f (x)

Observaci´n 1. Para una funci´n biun´
o
o
ıvoca f : X → Y se cumple que:
* Esta

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1

(1)

2

An
tioq
uia

Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
a

1. f −1 : Y → X.

4. f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ X

2. Dominio de f −1 = rango de f .

5. f (f −1 (y)) = y para todo y ∈ Y

3. Rango de f −1 = dominio de f .

y

=

x

f

Por la definici´n (1) de funci´n inversa
o
o
f −1 (b) = a

⇐⇒

f −1

(b, a)

a

Observemos que lospuntos (a, b) y (b, a) son
sim´tricos respecto a la recta y = x y por tanto
e
las gr´ficas de f y f −1 son sim´tricas a dicha recta.
a
e

y

·

a

y por tanto el punto de coordenadas (a, b) pertenece a la gr´fica de f si, y s´lo si el punto (b, a)
a
o
pertenece a la gr´fica de f −1 . As´ la gr´fica de
a
ı,
a
f −1 es la misma que la de f excepto que los roles
de los ejes x e y secambian.

x

b

Funciones trigonom´ticas inversas
e

3.1.

Funci´n seno inverso
o

de

3.

(a, b)

b

b = f (a),

La funci´n seno no es biun´
o
ıvoca

−2π − 3π −π
2 7π
−6

−π
2

π
6

7π
6

5π
6

π
2

= sen

π
6

2π

3π
2

= sen

rsid

sen −

π

ad

1
2

5π
6

=

1
2

Restringimos el dominio de la funci´n seno al intervalo[−π/2, π/2]:
o

1

−π

−π
2

ive

−2π − 3π
2

π

π
2

3π
2

2π

−1

Definici´n 3.1 (Funci´n seno inverso). La funci´n seno inverso, denotada por sen−1 , se define como
o
o
o

para

Un

y = sen−1 (x) ⇐⇒ x = sen(y)

−1 ≤ x ≤ 1

Observaci´n 2. .
o

y

−

π
π
≤y≤
2
2

3

1. El dominio de sen−1 es [−1, 1] y su imagen es − π , π
2 2

π π
− ,...