funciones trigonométricas inversas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Estas son necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo ninguna de las 6 funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede allar la inversa.

Las funciones inversas son seno, coseno,tangente, cotangente, secante y cosecante.
  Dice  
  Denota  
  seno inverso de x  
  arc sen x o sin-1x  
  coseno inverso de x  
  arc cos x o cos-1x  
  tangente inversa de x  
  arc tan x o tan-1x  
  cotangente inversa de x  
  arc cot x, o arc ctg x o cot-1x  
  secante inversa de x  
  arc sec x o sec-1x  
  cosecante inversa de x  
  arc csc x, o arc cosec x o csc-1x  
Ya que sen30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sen 0.5 = 30°.
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.

Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionancon las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2p, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.
De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, llamadastambién funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:





Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:





Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.FUNCION ARCOSENO INVERSA DE A FUNCION SENO
Si y=senx entonces la inversa se nota y=arcsen x o también se nota y=sen-1x

y=sen-1x ↔x=π ∕ 2 ≤ y ≤ π ∕ 2
la notación de inversa de y=senx -1x No se debe deconfundir con 1/senx la función inversa de y=senx restringido es:
y=senx -1x dominio es [-1,1] y el recorrido es [-π/2,π/2] esta grafica es creciente, es una función impar porque sen-1 (-x)Cando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña dificultad: puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno biunívocas, no tienen funciones inversas. La dificulta se vence restringiendo los dominios de estas funciones de modo que se transforme de uno a uno.
Obsérvese en la figura 17 que las funciones seno y=sen x no es uno a uno (aplica la pruebade la línea horizontal). Pero la función f(x)=sen x-π/2 ≤ x ≥ π/2 (véase figura 18) es uno a uno. La función inversa de esta función seno restringida f existe y se denota mediante sen-1 o arsen. Se denomina función inversa del seno o función arco seno.







puesto que la definición de una función inversa establece que
f -1 (x)=y ↔ f (y)=x
sen-1 x = y ↔ sen y = x y -π / 2 ≤ y ≤π / 2
por esto, si -1 ≤ x ≤ 1, sen-1 x es el numero entre –π/2 y π/2 cuyo seno es x.
ejemplo: determine (a) sen-1 (1/2) y (b) tan(arcsen 1/3)
solución:
(a) tenemos
sen-1 (1/2) =π/6
por que sen (π/6) =1/2 y π/6 queda entre –π/2 y π/2.
(b) Sea ø = arcsen 1/3, de modo que sen ø =1/3. Por lo tanto, podemos dibujar un triangulo rectángulo con angulo ø como en la figura 3 y deducir de acuerdocon el teorema de pitagoras que el cateto faltante mide √9-1 =2√2. Esto permite que podamos saber a partir del triangulo que


Figura 3


Tan (arcosen 1/3) =tan ø=1/2√2

Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforma en
Sen-1 (sen x) =x para --π / 2 ≤ x ≤ π / 2
Sen(sen-1x)=x para -1 ≤ x ≤ 1

El dominio de la funcion inversa del seno, sen-1, es...