Funciones Trigonometricas

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES
HIPERBÓLICAS

1.1 Funciones trigonométricas inversas. Definición, gráficas y derivadas.

De nuestros estudios previos, sabemos que una función es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento en el codominio; además la prueba de la recta vertical nosgarantiza que toda recta vertical intercepta el grafo de una función en un solo punto.
Por otro lado, recuerde que para que una función tenga inversa esta tiene que ser inyectiva o uno a uno. Gráficamente, se puede verificar con el criterio de la recta horizontal , es decir una función no es inyectiva si una recta horizontal corta el grafo de la función en más de un punto. Cabe señalar que todaslas funciones trigonométricas son periódicas por lo tanto no son inyectivas. No obstante, se puede hacer una restricción del dominio de manera tal que tengan inversa.
A continuación se detallaran el comportamiento de cada función trigonométrica.

Función senoinverso.

Observe que la función seno es creciente en el intervalo - π2, π2 , y en consecuencia, por el teorema de la funcióninversa se puede establecer que:

i) f tiene inversa f -1 definida en f(a), f(b)
ii) f -1 es creciente en f(a), f(b)
iii) f -1 es continua en f(a), f(b)

Otro recurso importante que mencionamos anteriormente es el criterio de la recta horizontal.

A través, del gráfico de la función se pueden aclarar estas afirmaciones.

La notación empleada para denotar la funciónseno inversa es y = arcsenx o
y = sen-1x; la primera fue introducida por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli alrededor de 1730, mientras que la segunda se la debemos a John Herchel quien la introdujo en 1830.

Observemos la gráfica de la función seno restringida en su dominio:

El dominio de la función restringida es - π2, π2 , el codominio es - 1, 1 , ahora si intercámbianos el dominiopor el codominio obtenemos la función inversa. Cuyo dominio es - 1, 1 y su codominio está dado por - π2, π2 .
Con esto en mente se puede establecer que :
sen(sen -1x) = x x ϵ - 1, 1
sen -1 (seny) = y y ϵ - π2, π2 .
Observación:
Se escogió el intervalo - π2, π2 , porque es el mayor intervaloque contiene al origen, sin embargo, se puede definir la función inversa a través de cualquier intervalo en el cual y = senx sea creciente.

Ejemplo : Determine el valor exacto de la función

a) sen -1 12

Solución:

sen30° = 12

sen-1 ( sen30° ) = sen -1 12
30° = sen -1 12

b) sen -1 -12

Solución:

sen(- θ ) = - sen ( θ ) Por ser impar la función seno.

sen( - 30° ) = -sen( 30° )

sen30° = 12

- sen30° = - 12
sen-1(- sen30° ) =sen-1 -12

sen-1( sen(-30°) ) = sen-1 -12

- 30° = sen-1 -12

c) Un cuerpo está suspendido de un resorte y vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación

y = 2 sen 4π ( t+ 18 )

donde y centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central t segundos después de iniciado el movimiento yel sentido positivo se considera hacia arriba. (a) Resuelva la ecuación para t. (b) Utilice la ecuación del inciso (a) para determinar los tres valores positivos más pequeños para los cuales el cuerpo está
1 cm sobre su posición central.

Solución:

(a) y = 2 sen 4π ( t+ 18 ) Identidades:

y2 = sen 4π ( t+ 18 ) sen-1 y2 = 2kπ +sen-1 y2


sen 4π t+ 18 = y2 sen-1 y2 = (2k +1) π - sen-1 y2


sen -1 ( sen 4π ( t+ 18 )) = sen-1 y2

sen -1 ( sen 4π ( t+ 18 )) = ( 2kπ + sen-1 y2 )

4π ( t+ 18 ) = ( 2kπ + sen-1 y2 )

( t+ 18 ) = k2+14π sen-1 y2

t =...