Funciones Trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INTRODUCCION:
El origen de la trigonometría data de hace mas de 2.000 años, cuando los
Griegos necesitaron métodos precisos para medir ángulos y lados de
triángulos.
En la actualidad el interés de las Funciones Trigonométricas radica en la
posibilidad de modelar cualquier fenómeno periódico a través de ellas.
Ejemplos de estos fenómenos son el día y la noche, las olasdel mar, los latidos
del corazón, la luz, las ondas electromagnéticas, etc.
En estas notas se definirán las Funciones Trigonométricas para los números
reales como todas las funciones que se han analizado hasta acá con dominio
real o bien un subconjunto de los reales.
Se prescindirá en esta presentación de los ángulos.
El considerar las Funciones Trigonométricas
con dominio en conjunto
numérico (y noen conjunto de ángulos) nos habilita a utilizar herramientas de
cálculo para tratarlas.
Se considerara circunferencia unitaria o circunferencia trigonométrica a la
circunferencia S de centro ( 0, 0 ) y radio R = 1 .

R =1

-1

Y se llamará

1

P( t ) para cualquier número real t , al punto al que se llega

recorriendo sobre S a partir del punto ( 1, 0 ) , una longitud de arco igual a t , ensentido positivo (antihorario) si t ≥ 0 y en sentido negativo (horario) si t < 0

P( t )

t

1

1

Se ubicaran P( t ) para algunos valores de t , recordando que si la longitud de
una circunferencia es 2.π .R , entonces la longitud de la circunferencia S por
tener radio =1 es 2π
I) Para t = 0
P( 0) = ( 1, 0 )

P( 0)

II) Para t = 2π
P( 2π ) = ( 1, 0 )

P( 2π )

III) Para t = π
P( π ) = ( −1, 0 )

P( π)

IV) Para t =

π
2

P π 
 
2 

P π  = ( 0,1)
 
2

2

V) Para t =

3π
2
P 3π  = ( 0, −1)


 2 

P 3π




 2 

VI) Para t = 4π
P( 4π ) = ( 1, 0 )

P( 4π )

Por lo visto en estos seis Puntos representados: t = 0 , t = 2π y t = 4π son tres
números reales distintos pero en la circunferencia S son representados por el
mismo punto P = ( 1, 0 ) , y lo mismo pasa con t = 6π , t =8π y t = −2π , en
general:
t = 2kπ donde kЄ

Z (conjunto de los enteros)

Entonces podemos generalizar que todos los múltiplos de
representados por el punto P = ( 1, 0 ) .
Ahora si se quiere ubicar en la circunferencia S , t =

2π

son

5π
2

P 5π  = ( 0,1)

P 5π 



 2 



 2 

3

Se puede observar que t =
P = ( 0,1)

π
5π
y t=
son representadas por el mismo punto
2
2
5π π
= + 2π
22

y lo mismo se puede decir de t =

9π
13π
, t=
, etc.
2
2
9π π
= + 4π
2
2
13π π
= + 6π
2
2

De ubicar t = −

π
2
P

π
(− )
2

= ( 0, −1)

P

π
− 
 2

t=

3π
π
y t = − son representados por el mismo punto P = ( 0, −1)
2
2
−

π 3π
=
− 2π
2
2

Con mayor precisión, puede decirse que siempre que dos números reales t y
t ' difieren en un múltiplo de 2π ( t ' = t + 2kπ , kЄ Z ), suscorrespondientes P( t )
y P( t ') coincidirán (para llegar hasta P( t ') , hay que llegar hasta P( t ) y dar k
vueltas alrededor de S )

P( t ') = P( t +2k π )

4

Con esto se presentan las Funciones Reales Seno y Coseno
Cos: R → R
Dado tЄ

y

Sen: R → R

R , si P( t ) = ( x, y ) , es:
cos t = x
sen t = y

es decir:
P( t ) = ( cos t ,sen t )
Como P( 0) = ( 1, 0 )

→ sen 0 = 0 , cos 0 = 1

Como P π  = (0,1)

→ sen

 
2

Como P( π ) = ( −1, 0 )
Como P 3π  = ( 0, −1)


 2 

π
π
= 1 , cos = 0
2
2

→ sen π = 0 , cos π = −1
→ sen

3π
3π
= −1 , cos
=0
2
2

Como P( 2π ) = ( 1, 0 )

→ sen 2π = 0 , cos 2π = 1

Como P 5π  = ( 0,1)

→ sen



 2 

Como P − π  = ( 0, −1)


 2

5π
5π
= 1 , cos
=0
2
2

 π
 π
→ sen  −  = −1 , cos  −  = 0
 2
 2

Notemos en general que, si dosnúmeros reales t y t ' son tales que P( t ) = P( t ')
debe ser sen t = sen t ' y cos t = cos t ' .
Entonces si dos números reales t y t ' difieren en un múltiplo entero de 2π (
t ' = t + 2kπ con kЄ Z ), se deduce que:

(∗) sen t = sen ( t + 2kπ ) y cos t = cos ( t + 2kπ )
Por esto se dice que seno y coseno son funciones periódicas, de periodo 2π .
En las representaciones graficas se volverá a este...