Funciones

1. FUNCIÓNES IMPAR O PAR:
a. Funciones Impar:
Una función es impar si cumple: f(-x) = -f(x).
A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas de x. por ejemplo; la imagen de 1, es la opuesta de la imagen -1, y la imagen de -2 es la opuesta de la imagen de 2.
Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origende coordenadas.
Ejemplo 1:
La funcion -f(x) = -x es impar ya que; f(-x) = (-x) = -x
Ejemplo 2:
-f(x) = x3; f(-x) = (-x)3 = -x
Ejemplo 3:
Otra función impar es y = 1/x ;Cuando f(x) = -f(-x)

b. Funciones pares:
Una funcion es par si cumple la forma: f(-x) = f(x).
Si una funcion es par, se dice que es simetricamente con el eje de ordenadas.

Ejemplo 1:
La funcióny(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x; pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:
f(x) = x4 + 3x2 + 4
f(-x) = (-x)4 + 3(-x)2 + 4 = f(x)

Ejemplo 3:
La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

2. CONCAVIDAD:
Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad haciaabajo.
Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.
3. Limite al Infinito:
El limite al infinito se trata de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos.
Ejemplo 1:

Ejemplo 2:Ejemplo 3:

4. Derivada de una funcion:
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
Teoremas de la derivada de una funcion:
Teorema 1: Derivada de una función constante.
Si f(x) = C, donde C es una constante, entonces f’(x) = 0.
Ejemplo:
Si f(x) = 8, entonces f’(x) = 0.
Teorema 2: Derivada de unaFuncion potencial:
Si f(x) = xn, donde n es un numero racional, entonces Dx (xn) = nxn-1.
Ejemplo:
Si f(x) = x4, entonces f’(x) = 4x3
Teorema 3: Derivada del producto de una derivada por una constante:
Si g es una funcion definida por g(x) = C · f(x), donde f es una funcion y C una constante, entonces:g(x) = C · f’(x)
Ejemplo:
f(x) = 4x5 = 4 · Dx (x5) = 20x4 ; f’(x) = 20x4
Teorema 4: Derivadade una funcion potencial por una constate.
Si f(x) = cxn, donde n es un numero entero positivo y c una constante, entonces
f’(x) = c · nxn-1.
Ejemplo:
Si f(x) = 3x3, entonces f’(x) = 9x2.
Teorema 5: Derivada de una adicion de funciones:
Si f1, f2, f3, … , fn, si f son funciones y f esta compuesto por f(x) = f1 + f2 + f3+ … + fn.
Ejemplo:
Si f(x) = 4x4 + 3x2 + 2x + 2.
f’(x) = 16x3 + 6x +2.
Teorema 6: Derivada de un producto de funciones:
Si f y g son funciones, y h una funcion dada por h(x) = f(x) · g(x), y si f’(x) y g(x) existen, entonces:
Ejemplo:

Teorema 7: derivada del cociente de una funcion:
Si f y g son funciones y h una funcion definida por: h(x) = f(x) / g(x), donde g(x) ≠ 0 y si f’(x) y g(x) existen, entonces,

Ejemplo:

5. Regla de la cadena:
Laregla de la cadena es una formula para calcular la derivada de una composicion de dos funciones.
Si g es una funcion diferenciable en x, y h es una funcion diferenciable en g(x), entonces la funcion compuesta f(x) = (h o g) (x) es diferenciable en x, y su derivada es:

Ejemplo:
Sea f(x) = x3; y g(x) = 3x2 + 4x – 9.
La funcion f o g esta definido por f(g(x)) = (3x2 + 4x – 9)3
f’(g(x)) = 3(3x2 +4x – 9)2 (6x+4).

6. Teorema de la Primera Derivada:
Se le llama Teorema de la primera Derivada, al metodo utilizado para determinar los minimos y maximos relativos que puede existir en una funcion mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene el punto critico c.
Sea c un punto crítico de una...