Funciones

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tioq
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Universidad de Antioquia
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Introduccion
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al Calculo
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
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Departamento de Matematicas
Taller 4
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Grupo de Semilleros de Matematicas
2011 − 1
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(Sematica)

Funciones

El concepto matem´tico de funci´n expresa la idea intuitiva acerca
a
o
de una cantidad (variable independiente, “valor de entrada”) que
determina porcompleto a otra cantidad (variable dependiente, “valor de salida”). Una funci´n asigna a cada “valor de entrada” un
o
unico “valor de salida”. Este tipo especial de relaci´n lo podemos
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o
encontrar en diversas situaciones de la vida diaria como por ejemplo en un supermercado, cuando a cada producto (variable independiente) el due˜o le asigna su costo (variable dependiente).
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de

Figura 1:Johann Dirichlet

Las funciones est´n presentes en toda la matem´tica y son esenciales
a
a
para la formulaci´n de relaciones f´
o
ısicas que surgen en las ciencias
naturales. ¿Pero, c´mo se lleg´ a esto?
o
o

ad

Como t´rmino matem´tico, el concepto de funci´n fue acu˜ ado
e
a
o
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por Leibniz en una carta escrita en 1673 en la que relacionaba una cantidad a una curva. Lasfunciones consideradas por Leibniz, actualmente se conocen como funciones diferenciables. En
1718 J. Bernoulli consider´ una funci´n como una expresi´n constituida de variables y constantes
o
o
o
y Leonar Euler a mediados del siglo XVIII utiliz´ la palabra funci´n para describir una expresi´n
o
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o f´rmula que involucrara variables, constantes y operaciones matem´ticas que las relacionara.
oa
A finales del siglo XIX se inici´ un proceso de formalizaci´n en las matem´ticas por medio del
o
o
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concepto de conjunto y se atribuye a Dirichlet, la introducci´n de la noci´n moderna del concepto
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o
de funci´n.
o

Objetivo general

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Las funciones generalizan la noci´n com´n de f´rmula matem´tica. Por medio de funciones se
o
u
o
a
establecen relaciones especialesentre elementos de conjuntos. Una funci´n asocia a cada elemento
o
x de un conjunto, un unico elemento f (x) de otro conjunto. Esto puede realizarse por medio de
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una f´rmula, un diagrama de flechas, una regla de asociaci´n, una tabla de datos, etc.
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Bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla
bla bla bla bla bla blaObjetivos espec´
ıficos

1. bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla
2. bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla

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3. bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla

Copyright c 2011 Grupo de Semilleros de Matem´ticas - Sem´tica, Universidad de Antioquia
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1.

Copyright c 2011 Grupode Semilleros de Matem´ticas - Sem´tica, Universidad de Antioquia
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2

Introducci´n
o

x
Los cient´
ıficios e ingenieros utilizan modelos matem´ticos con el oba
jetivo de comprender y explicar fen´menos y procesos que se presentan
o
en el mundo real. Un modelo matem´tico es una descripci´n matem´tica
a
o
a
de un sistema. Los modelos matem´ticos emplean un tipode formulisa
mo matem´tico para expresar relaciones entre variables, par´metros y
a
a
f
entidades.
Las relaciones que se plantean en un modelo matem´tico se enuna
cian por medio de funciones. La idea de funci´n que m´s adelante en la
o
a
f (x )
secci´n (2) te presentaremos en detalle, la podemos ilustrar esquem´tio
a
camente como se muestra en la figura: la funci´n f la podemosconsiderar como una “m´quina”
o
a
en la cual un objeto x de un conjunto X es transformado en un objeto f (x) de un conjunto Y .
Antes de iniciar el estudio de las funciones, presentaremos algunas ideas relacionadas con la
informaci´n que por medio de gr´ficas una ecuaci´n nos puede proporcionar.
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2.

Funciones

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El concepto de funci´n en matem´ticas establece una relaci´n muy...