Funciones

TEMA 3 FUNCIONES REALES

3.1 DEFINICIÓN

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.
Se usan indistintamente los símbolos:
[pic]ó [pic]
[pic][pic]
para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f)de B.

En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.
Considere por ejemplo los conjuntos:
[pic]y [pic], y la función [pic]definida por medio del diagrama:
 

Fig 3.1
De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de laprimera le corresponde un único valor de la segunda.

3.2 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Definición
El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f) o Dom(f(x)).

Ejemplo: Para entender el concepto del Dominio de una función analizaremos la función lineal de la forma y = 2x +1, donde podemos dar a la variable x el valor quequeramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
A continuación se ilustra la función gráficamente para su comprensión:

Cabe recordar que para graficar esta función bastan 2 puntos, pero a manera de ejemplo se tomaron varios puntos

[pic]

Nótese queal asignar cualquier valor de x, se obtiene un valor de y, por lo tanto el dominio de esta función lineal pertenece a los números reales

 Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

3.3 OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE EXPRESIONES ALGEBRAICASFunciones Polinómicas
Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)=3x5- 8x + 1;   D(f) = R

g(x)= 2x + 3;   D(g) = R

h(x)=(½)x ;   D(h) = R

Funciones Racionales

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raícesx1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn.

Ejemplo N° 1

[pic]Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3  y   x2 = -3.
         Por lo tanto D(f) = R - {+3, -3}

Ejemplo N° 2
[pic]  Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y encontramos que no tienesolución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.
    
        Por lo tanto D(f) = R.
Funciones Irracionales
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los númerosreales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos...