generaccion de variables aleatorias

Tema 2
M´
etodos generales de generaci´
on de
variables aleatorias

2.1.

Generaci´
on de variables discretas

A lo largo de esta secci´on, consideraremos una variable aleatoria X cuya funci´on
puntual es probabilidad es P (X = xi ) = pi ≥ 0, i ∈ I y

2.1.1.

i∈I

pi = 1.

M´
etodo de inversi´
on de la funci´
on de distribuci´
on

Para generar valores de X a partir de n´
umeros aleatorios,dividimos el intervalo
(0, 1) en tantas partes como valores tome la variable X, de modo que el i-´esimo intervalo
tenga probabilidad pi .

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Tema 2. M´etodos generales de generaci´on de variables aleatorias

Figura 2.1: Inversi´on de la funci´on de distribuci´on

Se asigna a X el valor xi si el valor u generado de una distribuci´on U(0, 1) verifica:
i−1

i

pk < u ≤
k=1

pk ,
k=1

es decir, si FX(xi−1 ) < u ≤ FX (xi ). Que este m´etodo genera, efectivamente, valores
que siguen la distribuci´on de X se sigue de la siguiente expresi´on
pk < U ≤

P (X = xi ) = P
k=1

pk
k=1

i−1

i

i

i−1

pk −

=
k=1

pk = pi ,
k=1

Obs´ervese que una vez generado el n´
umero aleatorio u, encontrar el valor generado
de X consiste en encontrar el intervalo (FX (xi−1 ), F (xi )] al que pertenece u, lo queequivale a encontrar la inversa de FX . La interpretaci´on geom´etrica del m´etodo ser´ıa
la siguiente:

2.1. Generaci´
on de variables discretas

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Figura 2.2: Interpretaci´on geom´etrica del m´etodo de inversi´on

En resumen, el algoritmo ser´ıa el siguiente

1.- Generar un n´
umero aleatorio u. Hacer i = 1.
2.- Si FX (xi ) ≤ u, hacer i = i + 1 y volver al paso 2. En caso contrario, ir al paso3.
3.- xi es el valor generado de la variable X.

La eficiencia del m´etodo depender´a de c´omo se realice la observaci´on del intervalo
que contiene a u. El caso m´as simple ser´ıa empezar por la izquierda y movernos hacia
adelante; primero comprobar si u ≤ p1 , en cuyo caso X = x1 . Si u > p1 , ver si u ≤ p1 +p2
y en ese caso X = x2 , ..., etc. El n´
umero de comparaciones depender´a de u y delas
probabilidades pi , con lo que si los primeros valores de pi son peque˜
nos, la probabilidad
de que tengamos que hacer un gran n´
umero de comparaciones aumenta. Esto sugiere
la posibilidad de procedimientos de b´
usqueda m´as sofisticados, por ejemplo ordenar los
valores de X en orden decreciente de probabilidad.

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Tema 2. M´etodos generales de generaci´on de variables aleatorias

Algunosejemplos:

Generaci´on de una variable bernoulli
Generaci´on de una distribuci´on uniforme discreta
Generaci´on de una distribuci´on de Poisson
Generaci´on de una distribuci´on discreta cualesquiera.
Ejemplo 2.1. Generaci´on de una permutaci´on de {1, . . . , n} aleatoriamente

Idea: generamos un n´
umero de una distribuci´on uniforme discreta entre 1 y n y lo
colocamos en la posici´on n. Luegogeneramos un n´
umero entre los n − 1 restantes
y lo colocamos en la posicion n − 1, etc´etera.
Problema: C´omo controlar en cada etapa k cu´ales son los n − k n´
umeros que todav´ıa no han
sido asignados.
Soluci´on: Tomar una permutaci´on inicial e ir intercambiando las posiciones

El m´etodo podr´ıa estructurarse de la siguiente forma

1. Elegimos una permutaci´on cualquier P1 P2 . . . Pn de {1,. . . , n}.
2. Tomar k = n
3. Generamos un n´
umero aleatorio u y consideramos x = [ku] + 1
4. Intercambiamos los valores de las posiciones Px y Pk .
5. Hacemos k = k − 1. Si k ≥ 2, ir al paso 3.
6. P1 P2 . . . Pn es la permutaci´on resultante

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2.1. Generaci´
on de variables discretas

Como caso particular de esta aplicaci´on, podemos utilizarla para generar un subconjunto relativo de {1, . .. , n} de h elementos. Para ello, basta proceder con el m´etodo
anterior hasta obtener los u
´ltimos h elementos de la permutaci´on Pn−h+1 , . . . , Pn que
constituir´ıan el subconjunto aleatorio buscado (si h > n − h, se pueden generar los
u
´ltimos n − h elementos y los h restantes constituir´ıan el conjunto buscado).

2.1.2.

M´
etodo de composici´
on

Consideremos X1 y X2 dos variables...