Generalidades

´ APENDICE A

Generalidades de teor´ de conjuntos ıa
No definiremos expl´ ıcitamente el concepto de conjunto. Pensaremos en ellos como colecciones de objetos. Tema 1. Conceptos b´sicos a

Repasaremos las definiciones m´s b´sicas de teor´ de conjuntos: a a ıa Definiciones A.1.1. Sean A, B y X conjuntos. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Subconjunto: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B). Conjunto de las partes de unconjunto: P(X) := {A | A ⊂ X}. Igualdad de conjuntos: A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A). Conjunto vac´ ∅ es el unico conjunto que cumple la propiedad de que ıo: ´ no contiene ning´ n elemento. u Uni´n de conjuntos: A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}). o Intersecci´n: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}). o Conjuntos disjuntos: A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅. En ocasiones, si A y B son disjuntos, para escribir A ∪ Bresaltando este hecho, ∅ escribiremos A ∪ B. Uni´n disjunta de conjuntos: A B := {(A, a) | a ∈ A} ∪ {(B, b) | o b ∈ B}. Complementario de A en X: Ac := {x ∈ X | x ∈ A}. Diferencia de dos conjuntos: A \ B := A ∩ B c ; el complementario de A en X es Ac = X \ A. Producto cartesiano: A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

8. 9. 10. 11.

Ejercicio A.1. ♠ Sean A, B, C ⊂ X todos ellos conjuntos; lassiguientes son sencillas consecuencias de las definiciones anteriores. 1. Si A ⊂ B, entonces (a) A ∪ B = B, (b) A ∩ B = A. 2. Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C. 3. Si A ⊂ B y A ⊂ C, entonces A ⊂ B ∩ C. 4. Si A ⊂ C y B ⊂ C, entonces A ∪ B ⊂ C.
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A. GENERALIDADES DE TEOR´ DE CONJUNTOS IA

5. Si A ⊂ B, entonces (a) A ⊂ A ∪ C ⊂ B ∪ C, (b) A ∩ C ⊂ B ∩ C ⊂ B. 6. Si x ∈ A ∪ B y x ∈ A, entonces x ∈B (es decir, (A ∪ B) ∩ Ac ⊂ B). 7. A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅. ´ Definicion A.1.2. A la cuaterna (P(X), ∪, ∩, c ) se le denomina ´lgebra de a Boole de X. ´ Propiedades A.1.3 (Algebra de Boole). Sean A, B, C ⊆ X conjuntos, enton1. 2. 3. 4. 5. Propiedad conmutativa de la uni´n: A ∪ B = B ∪ A. o Propiedad conmutativa de la intersecci´n: A ∩ B = B ∩ A. o Propiedad asociativa de la uni´n: A ∪ (B ∪ C) =(A ∪ B) ∪ C. o Propiedad asociativa de la intersecci´n: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. o Propiedad cancelativa de la uni´n respecto de la intersecci´n: o o A ∪ (B ∩ A) = A. 6. Propiedad cancelativa de la intersecci´n respecto de la uni´n: o o A ∩ (B ∪ A) = A. 7. Propiedades del complementario: (a) (Ac )c = A, (b) A ∩ Ac = ∅,
∅

ces

(c) A ∪ Ac = X, (d) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac (por tanto A = B ⇔ Ac = B c). 8. Leyes de Morgan: (a) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (b) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . 9. Propiedad distributiva de la intersecci´n respecto de la uni´n: o o A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 10. Propiedad distributiva de la uni´n respecto de la intersecci´n: o o A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ´ Demostracion.

1. x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ B ∪ A. 2. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∧x ∈ A ⇔ x ∈ B ∩ A. 3. x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C. 4. x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∩ C.

´ TEMA 1. CONCEPTOS BASICOS

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5. (⊆) Dado que A ⊂ A y A ∩ B ⊂ A, entonces A ∪ (A ∩ B) ⊂ A (Ejercicio A.1(4)). (⊇) Dado que A ⊂ A, entonces A ⊂ A ∪ (A ∩ B) (Ejercicio A.1(5a)). 6. (⊆) Dadoque A ⊂ A, entonces A ∩ (A ∪ B) ⊂ A (Ejercicio A.1(5b)). (⊇) Dado que A ⊂ A y A ⊂ A ∪ B, entonces A ⊂ A ∩ (A ∪ B) (Ejercicio A.1(3)). 7. (a) x ∈ (Ac )c ⇔ x ∈ Ac ⇔ x ∈ A. (b) Supongamos x ∈ A ∩ Ac ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A, lo que da lugar a contradicci´n. Por lo tanto A∩Ac no tiene elementos, es decir, A∩Ac = o ∅. (c) Para probar X = A ∪ Ac , basta demostrar X ⊂ A ∪ Ac . Sea x ∈ X, entonces x ∈ A ∨ x ∈ A,por lo tanto x ∈ A ∪ Ac . Adem´s la uni´n es a o disjunta por el apartado anterior. (d) (⇒) x ∈ B c ⇒ x ∈ B. Por lo tanto x ∈ A (ya que si x ∈ A se tendr´ ıa que x ∈ B lo cual es contradictorio). (⇐) B c ⊂ Ac ⇒ (Ac )c ⊂ (B c )c por el caso anterior. Utilizando el apartado 7a, se tiene que A ⊂ B. 8. (a) (⊆) (A ∪ B)c ⊂ Ac por 7d, ya que A ⊂ A ∪ B. An´logamente a (A∪B)c ⊂ B c . Por lo tanto (A∪B)c ⊂...