Geometría Proyectiva

Apuntes de Geometr´ Proyectiva ıa
por Enrique Arrondo(*)

Versi´n del 7 de Enero de 2009 o
Versi´n muy preliminar o

EL PLANO PROYECTIVO 1. Construcci´n del plano proyectivo o 2. Rectas del plano proyectivo 3. Raz´n doble o 4. C´nicas proyectivas o 5. C´nicas afines y eucl´ o ıdeas ESPACIOS PROYECTIVOS 6. Construcci´n del espacio proyectivo o 7. Aplicaciones proyectivas 8. Clasificaci´n deproyectividades o 9. Correlaciones y cu´dricas a 10. Espacio af´ y espacio proyectivo ın

´ (*) Departamento de Algebra, Facultad de Ciencias Matem´ticas, Universidad Coma plutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain, arrondo@mat.ucm.es 1

EL PLANO PROYECTIVO
1. Construcci´n del plano proyectivo o
Nuestro punto de partida consiste en observar que existe una cierta simetr´ entre ıa 2 el conjunto depuntos y el conjunto de rectas del plano af´ Ak sobre un cuerpo k. En ın 2 efecto, dados dos puntos distintos de Ak , se puede determinar a partir de ellos una recta, concretamente la unica que pasa por ellos dos; rec´ ´ ıprocamente, dadas dos rectas distintas del plano, determinan un unico punto, en concreto el de intersecci´n de ambas (salvo que ´ o sean paralelas, problema que obviaremos demomento). Esta simetr´ nos puede hacer ıa sospechar que ambos conjuntos tienen la misma estructura, as´ que vamos a analizar si ı esto es cierto. En primer lugar, el conjunto de puntos de Ak se identifica inmediatamente con k 2 , 2 pero describir el conjunto de rectas parece m´s complicado. Para simplificarlo, y hacer a 2 o que tal conjunto sea otro k , podemos representar cada recta por medio de unaecuaci´n de la forma Y = aX + b, con a, b ∈ k. En otras palabras, estamos determinando cada recta a partir de un par (a, b), donde a es la pendiente de la recta y (0, b) es su punto de intersecci´n con el eje vertical. Obs´rvese que encontramos un nuevo problema, y es que o e o esto nos da una biyecci´n no entre k 2 y el conjunto de todas las rectas, sino s´lo entre k 2 o y las rectas noverticales (ya que las rectas de la forma X =constante son las unicas que ´ no se pueden representar con una ecuaci´n de la forma Y = aX + b). o A pesar de estos problemas, veamos si de todas formas encontramos la simetr´ a la ıa que aludimos desde el principio. Empecemos por dos puntos distintos (x , y ), (x , y ) ∈ A2 k ´ y determinemos la recta que pasa por ellos. De Algebra Lineal y Geometr´ sabemosque ıa, dicha recta tiene de ecuaci´n o 1 X Y y =0 1 x 1 x y que, escrita de la forma descrita anteriormente, ser´ Y = aX + b, con a (a, b) = y −y x y −xy , x −x x −x . (1.1)

Por otro lado, si consideramos las rectas Y = a X + b y Y = a X + b , su intersecci´n es o el punto b −b a b −ab (x, y) = − , . (1.2) a −a a −a 2

Comparando las dos expresiones (1.1) y (1.2), nos damos cuenta de que,salvo por un signo, los pares de la forma (a, b) juegan un papel sim´trico al de los pares de la forma e (x, y), lo que no deber´ ser por casualidad. La clave nos la va a dar el mirar los casos ıa “patol´gicos”. Si miramos la f´rmula (1.2), nos damos cuenta de que no tiene sentido si o o ı a = a . Hasta aqu´ es normal, visto que a = a quiere decir que las dos rectas tienen la misma pendiente, esdecir, son paralelas, con lo que evidentemente no nos pod´ salir un ıa punto de intersecci´n. o Mirando ahora el caso sim´trico, la f´rmula (1.1) no est´ definida cuando x = x , e o a lo que tambi´n es normal, porque en tal caso la recta que pasa por los dos puntos es una e recta vertical, que no se puede poner de la forma Y = aX + b. La idea es que, dado que en este ultimo caso sabemos que s´ que hayrecta, vamos a ampliar el conjunto de pares de ´ ı ıa e la forma (a, b) al conjunto de todas las rectas de A2 , y por simetr´ ampliaremos tambi´n k 2 el conjunto de puntos de Ak . En realidad, el conjunto de todas las rectas vendr´ dado por el conjunto de todas las a ecuaciones de la forma u0 + u1 X + u2 Y = 0 (con u0 , u1 , u2 ∈ k), teniendo en cuenta dos observaciones: 1) Necesariamente al...