Geometria analitica
Páginas: 59 (14737 palabras)
Publicado: 25 de marzo de 2013
El alumno al término de la unidad deberá:
1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre.
2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en V3 así como la deducción de todas las formas de representación.
3. Formular y expresar matemáticamentelas diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y planos, así como la proyección geométrica de dichas relaciones.
En 1788, Lagrange publicó su obra "Mécanique Analytique", que mostró la gran flexibilidad y grandes alcances de utilizar métodos analíticos en el estudio de la mecánica. Posteriormente, William Rowan Hamilton (1805-1865), introdujo su "Theory ofQuaternions", la cual contribuyó a la comprensión del Algebra y de la Física. La unión de las más notables características del análisis de los cuaterniones y de la geometría cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925), dando lugar a la llamada Álgebra Vectorial.
El uso del álgebra vectorial permitió la exposición y simplificación demuchos conceptos geométricos y físicos, de ahí la importancia de su estudio en este curso. Debido a que, el alumno no está familiarizado a trabajar con vectores, se recomienda, de modo especial, el estudio de este capítulo, el cual le permitirá conocer la naturaleza del vector y cómo se opera con ellos.
La idea de emplear un número para situar un punto A = ( a1 ) en una recta fueconocida por los antiguos griegos (figura 2.1 (a)). En 1637, Descartes extendió esta idea utilizando un par de números A = (a1,a2) para situar un punto en el plano (figura 2.1 (b)), y una terna de números A = (a1,a2,a3) para situar el punto en el espacio (figura 2.1 (c)). En el siglo XIX, los matemáticos A. Cayley (1821-1895) y H. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse enlas ternas de números. Se puede también considerar, en general, una n-upla de números reales:
Una tal n-upla se le llama punto n-dimensional. Cuya representación geométrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 2.1 d.
Por tanto un punto puede representarse de tres maneras diferentes, de forma algebraica a través de la letramayúscula A, de forma analítica a través de sus coordenadas (a1,a2,....,an) y mediante su forma geométrica representada en la Fig. 2.1 d
Estamos acostumbrados a considerar magnitudes, tanto en Geometría como en Física, que puedan ser caracterizadas por un único número real referido a una unidad de medida apropiada: el perímetro de una figura, el área de una superficie, el volumen, latemperatura, el tiempo, etc. A dichas magnitudes se les llama magnitudes escalares, denominándose escalar el número real asociado a cada una de ellas.
Existen otras magnitudes físicas y geométricas en las que interviene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un único número real: la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. A dichas magnitudes se les llamamagnitudes vectoriales, denominándose vector al objeto matemático utilizado para describir cada una de ellas.
Las características fundamentales de un vector son: su módulo, su dirección y su sentido. Es, por tanto, natural representar un vector geométricamente por medio de un segmento orientado, correspondiendo la longitud, dirección y sentido del segmento orientado al módulo, dirección y sentidodel vector.
Descripción de un vector: por ser un segmento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido, a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de acción que me define la dirección, y a su longitud Norma , o Módulo, como se ilustra en la figura siguiente:...
El alumno al término de la unidad deberá:
1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre.
2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en V3 así como la deducción de todas las formas de representación.
3. Formular y expresar matemáticamentelas diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y planos, así como la proyección geométrica de dichas relaciones.
En 1788, Lagrange publicó su obra "Mécanique Analytique", que mostró la gran flexibilidad y grandes alcances de utilizar métodos analíticos en el estudio de la mecánica. Posteriormente, William Rowan Hamilton (1805-1865), introdujo su "Theory ofQuaternions", la cual contribuyó a la comprensión del Algebra y de la Física. La unión de las más notables características del análisis de los cuaterniones y de la geometría cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925), dando lugar a la llamada Álgebra Vectorial.
El uso del álgebra vectorial permitió la exposición y simplificación demuchos conceptos geométricos y físicos, de ahí la importancia de su estudio en este curso. Debido a que, el alumno no está familiarizado a trabajar con vectores, se recomienda, de modo especial, el estudio de este capítulo, el cual le permitirá conocer la naturaleza del vector y cómo se opera con ellos.
La idea de emplear un número para situar un punto A = ( a1 ) en una recta fueconocida por los antiguos griegos (figura 2.1 (a)). En 1637, Descartes extendió esta idea utilizando un par de números A = (a1,a2) para situar un punto en el plano (figura 2.1 (b)), y una terna de números A = (a1,a2,a3) para situar el punto en el espacio (figura 2.1 (c)). En el siglo XIX, los matemáticos A. Cayley (1821-1895) y H. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse enlas ternas de números. Se puede también considerar, en general, una n-upla de números reales:
Una tal n-upla se le llama punto n-dimensional. Cuya representación geométrica se realiza tomando un punto cualquiera, como se muestra en la Fig. 2.1 d.
Por tanto un punto puede representarse de tres maneras diferentes, de forma algebraica a través de la letramayúscula A, de forma analítica a través de sus coordenadas (a1,a2,....,an) y mediante su forma geométrica representada en la Fig. 2.1 d
Estamos acostumbrados a considerar magnitudes, tanto en Geometría como en Física, que puedan ser caracterizadas por un único número real referido a una unidad de medida apropiada: el perímetro de una figura, el área de una superficie, el volumen, latemperatura, el tiempo, etc. A dichas magnitudes se les llama magnitudes escalares, denominándose escalar el número real asociado a cada una de ellas.
Existen otras magnitudes físicas y geométricas en las que interviene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un único número real: la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. A dichas magnitudes se les llamamagnitudes vectoriales, denominándose vector al objeto matemático utilizado para describir cada una de ellas.
Las características fundamentales de un vector son: su módulo, su dirección y su sentido. Es, por tanto, natural representar un vector geométricamente por medio de un segmento orientado, correspondiendo la longitud, dirección y sentido del segmento orientado al módulo, dirección y sentidodel vector.
Descripción de un vector: por ser un segmento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido, a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de acción que me define la dirección, y a su longitud Norma , o Módulo, como se ilustra en la figura siguiente:...
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