Geometria analitica

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UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA.

Elementos de geometría analítica

Introducción

En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos.
En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dospuntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca que l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una circunferencia y de una parábola.
Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de situaciones geométricas.

Objetivos:

Que el alumno o la alumnapueda:
1. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento.
2. Aplicar las fórmulas para calcular: la distancia entre dos puntos, la pendiente de una recta, el ángulo entre rectas y el punto medio de un segmento..
3. Utilizar los conceptos elementales estudiados, para realizardemostraciones geométricas.
4. Definir los lugares geométricos siguientes: línea recta, circunferencia y parábola.
5. Identificar el lugar geométrico (línea recta, circunferencia y parábola) correspondiente a una determinada ecuación.
6. Determinar los elementos característicos de un lugar geométrico a partir de su ecuación y trazar el gráfico.
7. Encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partirde ciertos elementos que lo caracterizan.




1. Conceptos fundamentales .




















1.1 Coordenadas rectangulares


El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve recordatorio.


En la página siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los 2 ejes cartesianos: X y y. Observamos también los 4cuadrantes y 2 pares ordenados.


Actividad 1. Coloquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (2,5), (3,4), (5,1), (-4,2), (-3,-4), (-1,-4), y (1,-3)


Actividad 1b. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,5), (-3,4), (-5,1), (4,2), (3,-4), (1,-4), y (-1,-3)


Actividad 1c. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,-5), (-3,-4), (-5,-1), (4,-2), (3,4),(1,4), y (-1,3)




































Podemos observar las características siguientes:

1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen
2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen
3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen
4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen
5. Todo valor ala izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)
6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)


1.2 Distancia entre dos puntos


En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una vertical que para por X = 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distanciaentre los dos puntos? Si medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6 + 1 = 7. Pero 6 y –1 son las coordenadas en y.


En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es y2 – y1, siendo y2 el mayor.


De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es X2 – X1, siendo X2 el mayor.


Para elcaso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.





































Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto (5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo....
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