Geometria analítica

Exercici 1.
Donat un conjunt X, demostreu que la següent aplicació defineix una distància (la distància trivial) en X :
d: ( x ( ( (
(a, b) ( d(a, b) = 0 quan a = b
d(a, b) = 1 quan a ≠ b

Donat un conjunt X, anomenarem distància (o mètrica) en el conjunt a qualsevol aplicació
d : X×X → R que verifiqui les següents propietats:
1. d (a,b) ≥ 0, ∀ a, b∈ X (no negativitat)
2. d (a,b) = d (b, a), ∀ a, b ∈ X (simetria)
3. d (a, c) ≤ d (a,b)+d (b, c), ∀ a ,b, c ∈ X (desigualtat triangular)
4. d (a,b) = 0 ⇔ a = b

Anem a comprovar si la “distància trivial” verifica les propietats per a ser una distància:
1. d (a, b) ≥ 0, ∀ a, b ∈ X (no negativitat)

Ho compleix per la pròpia definició:
d(a, b) = 0 quan a = bd(a, b) = 1 quan a ≠ b
La distància entre dos punts sempre serà major o igual a zero. Serà zero o u.

2. d (a, b) = d (b, a), ∀ a ,b ∈ X (simetria) “casi-mètrica”

Si a ≠ b tenim que la d(a, b) = 1 per a qualsevol a i b
i també tenim que la d(b, a) = 1 per a qualsevol a i b , per tant
es compleix que d (a, b) = d (b, a),

Si a = b tenim que la d(a, b) =0 i també tenim que la d(b, a) = 0 per tant
es compleix que d (a, b) = d (b, a),

3. d (a, c) ≤ d (a, b)+d (b, c), ∀ a, b , c ∈ X (desigualtat triangular) “semi-mètrica”

Si suposem que a, b i c són tots tres diferents
d (a, c) = 1 d (a, b) = 1 d (b, c) = 1 ( 1 ≤ 1 + 1

Si suposem que dos són iguals, per exemple a i b
d (a, c) = 1 d (a, b) = 0 d (b, c) = 1 ( 1 ≤ 0 + 1 (d (a, c) = d (b, c)

Si suposem que els tres són iguals,
d (a, c) = 0 d (a, b) = 0 d (b, c) = 0 ( 0 ≤ 0 + 0

Veiem que en tots els casos es compleix la desigualtat triangular.

4. d (a, b) = 0 ⇔ a = b “mètrica”.

Per la pròpia definició que ens diu: d(a, b) = 0 quan a = b

Una distància pot fer referència tan a una “mètrica” com a una “semi-mètrica”.

Exercici 2.Definiu les distàncies de Minkowski d’ordre p. Trobeu el lloc geomètric dels punts del pla que disten menys d’una unitat de l’origen pels casos de la distància Minkowski (ordre 1) i la distància euclídia (boles obertes de radi 1) i feu-ne una representació gràfica.

La distància de Minkowski d’ordre p, en el pla es defineix com

Siguin dos punts a l’espai, a (x1, x2) i b (y1, y2)
dMp (a, b)= ( | x1 - y1 |p + | x2 - y2 |p ) 1/p

En general, en un espai de dimensió n,
dMp (a, b) = ( (| xi - yi |p) 1/p seria la distància de Minkowski d’ordre p, amb p > 0

Distància Manhattan (o distància de l’Eixample) quan p = 1
Distància Euclídea quan p = 2

Lloc geomètric dels punts del pla en que d (Origen, punt a) < 1 amb la distància de Minkowski d’ordre 1
Origen: O (0,0) Puntqualsevol: a (x1, x2) amb p = 1

dM1 (O, a) = ( | x1| + | x2 | ) < 1 ( | x2| < 1 - | x1 |

si ho resolem pel primer quadrant on x1 i x2 són positives: x2 = 1 - x1, veiem que és una recta que passa pels punts (1,0) i (0,1); si ho fem pels altres quadrants i fem la representació gràfica tenint en compte de no dibuixar la recta on la distància és igual a 1, ens queda:

[pic]

És un rombe obert (decostat (2 amb la distància euclídea) però amb aquesta mètrica és de costat 2. dM1 ((1,0) , (0,1)) = ( | 1 - 0 | + | 0 - 1 | ) = 2

Lloc geomètric dels punts del pla en que d (Origen, punt a) < 1 amb la distància de Minkowski d’ordre 2

Origen: O (0,0) Punt qualsevol: a (x1, x2) amb p = 2

dMp (a, b) = ( | x1|2 + | x2|2 ) ½ < 1

Aquesta és l’equació d’una circumferència oberta de radi 1[pic]

Exercici 3.

Doneu la definició de sistema de coordenades baricèntriques i incloeu exemples numèrics.

Donat un n-simplex a l'espai euclidià En, es defineixen les coordenades baricèntriques generalitzades de la següent manera:

Si tenim els n+1 vèrtexs del n-simplex:
[pic]
llavors, qualsevol punt [pic] = (x1, x2, ... , xn) de l’interior del n-simplex pot ser representat per...