Geometria Eucladiana

Conceptos básicos

1 GEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS BASICOS

EL METODO DEDUCTIVO: El método deductivo es el utilizado en la ciencia y principalmente en la geometría. Este método consiste en conectar un conjunto de conocimientos que se aceptan como verdaderos, para obtener nuevas proposiciones que son consecuencia lógica de las anteriores. El método deductivo también es llamado métodoaxiomático. El método deductivo se basa en:  Conceptos no definidos: La geometría necesita desarrollar su propio vocabulario y para desarrollarlo comenzamos con unas palabras que se obtienen de la vida cotidiana. Términos no definidos: Punto, Recta, Plano.  Las definiciones: Necesitamos conocer el significado exacto de los términos que utilizamos en geometría y para ello utilizamos las definiciones.Ejemplo: La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruentes.  Los Postulados. (Axiomas) Son proposiciones que se aceptan como verdaderas sin demostrarlas.  Teoremas: Son proposiciones que para aceptarlas como verdaderas deben ser demostradas a partir de postulados, definiciones o teoremas ya demostrados, siguiendo unadeducción lógica. En un teorema se deben distinguir dos elementos fundamentales: LA HIPOTESIS Y LA TESIS. La hipótesis son los datos que se dan en el enunciado del teorema. La tesis es la conclusión a la que debemos llegar. PUNTO: Es un término no definido en geometría. La huella que deja un alfiler en una hoja nos da la idea de punto. Los puntos los denominaremos por letras mayúsculas. RECTA: Es otrotérmino no definido en geometría. NOTACION DE RECTA:
  AB recta AB
 l recta l

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SEMIRRECTA: Si en una recta, se da un punto O, este parte la recta en dos semirrectas de origen O. Una semirrecta es el conjunto formado por O y todos los puntos que le siguen, o el conjunto formado por O y todos los puntos que le anteceden.

Semirrecta Semirrecta NOTA: El origenpertenece a la semirrecta. POSTULADOS DE ORDEN SOBRE PUNTOS:  Existen por lo menos dos puntos sobre una recta  Si A y B son dos puntos distintos sobre una recta existe por lo menos un punto C entre A y B. A – C – B. PUNTOS COLINEALES: Son los puntos que están sobre una misma recta. SEGMENTO DE RECTA: Dados dos puntos distintos A y B de una recta, el conjunto formado por A y B y todos los puntosentre A y B se llama segmento de recta AB y se denota por AB .

AB

A, B  X / A X

B

A y B se llaman extremos del segmento. NOTA: AB es lo mismo que escribir BA PLANO: Es otro término no definido en geometría. POSTULADO: Dados tres puntos no colineales determinan uno y solamente un plano. POSTULADOS DE ENLACE:  Por dos puntos distintos pasa una y solamente una recta.  Si dos puntosdistintos de una recta pertenecen al mismo plano, la recta se halla contenida en dicho plano  La intersección de dos planos es una recta  Un plano y un punto determinan el espacio tridimensional DEFINICION: Tres o más puntos no colineales que pertenecen a un mismo plano, se llaman coplanares.

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3 SEPARACION DEL PLANO: Un punto divide una recta en dos semirrectas. En formasemejante, podemos pensar en que una recta divide a un plano en dos semiplanos H1 y H2

Si dos puntos P y Q del plano

se encuentran en el mismo semiplano, se dice que se encuentran

del mismo lado le la recta l (borde). En este caso PQ no corta a L, es decir PQ  l Si P y R están en semiplanos distintos del plano, estos están en lados opuestos del borde l y se tiene: PQ  l





ADEFINICION: Un conjunto P se dice que es convexo, si y solo si para todo par de puntos A y B de P, AB está incluido en P, en caso contrario se dice que el conjunto es no convexo. En las siguientes figuras a, b y c son convexas y las otras no.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO Dadas dos rectas en un plano puede suceder:  Que se cortan en un punto, o sea que l1 l2 P

 Que...