geometria proyectiva

20. Razón Cruzada
20.1 Definiciones. Hemos considerado cuatro puntos colineales A, B,C,D cuyas posiciones son tales que el segmento AB está dividido por C y D en rezones cuya razón tiene el valor –1 . Cuando los puntos están así situados , A y B están separados armónicamente por C y D.
Si estos cuatro puntos tienen posiciones cualquiera en la línea en que están, esta razón de razones

Esllamada razón cruzada de los cuatro puntos A,B,C,D y la señalaremos con el símbolo { A, B, C, D}.
También , si OA, OB, OC, OD son cuatro líneas concurrentes, O un punto finito*, su razón cruzada es
y será denotada por O { ABCD}. Asimismo {abcd} indica la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes a, b,c d.
Los términos razón anarmónica y razón doble son usados como sinónimos de razón cruzada.De estas dos la primera es más frecuente, pero razón cruzada es la más usada de las tres.
Si cuatro elementos, son armónicos, sus razones cruzadas tienen el valor -1 e inversamente.
Es fácil verificar que si A, B, C son tres puntos distintos colineales
Inversamente, se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores 1, 0, "∞, dos de los puntos coinciden. Másaún, si A, B, C son tres puntos colineales distintos, existe un único punto D colineal con ellos tal que{ ABCD} =λ, donde λ tiene un valor real cualquiera.
Se infiere enseguida de la definición de razón cruzada que los pares de puntos distintos A, B y C ,D se separan mutuamente o no, de acuerdo con que { ABCD} sea negativo o positivo.
*Para una definición que incluya el caso en que el vértice deun haz es un punto al infinito, ver la sección 20.2
20.2 Relaciones de razón cruzada de hileras y haces.
Fundamental en la teoría de razón cruzada es el siguiente
Teorema: La razón cruzada de un haz de cuatro líneas es igual a la razón cruzada de una hilera de cuatro puntos en los cuales cualquier transversal que no pase por el vértice corta las cuatro líneas.

La prueba, cuando el vérticedel haz es un punto infinito, es semejante a la dada en la sección 15.6 Si el vértice del haz está al infinito, de tal manera que las cuatro líneas son paralelas, el contenido de este teorema será visto como definición de la razón cruzada del haz.
Consecuencias inmediatas del teorema anterior son los
Corolarios: (1) Si dos transversales a cuatro líneas de un haz, ninguna de las cuales pasa porel vértice, cortan a estas líneas en A,B,C, D y A´,B´,C´D´ respectivamente entonces
{ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }
(2) Si dos haces con vértices en O y O´son subtendidos por la misma hilera de puntos A,B,C,D,entonces
O { ABCD} = O´ {ABCD} .
(3) Si A, B, C,D y A´B´,C´D´ son dos hileras de puntos que están en diferentes líneas en el plano tales que {ABCD} ={A´,B´,C´,D´ }, y si O y O´ son dos puntosdistintos colineales con A y A´, entonces los puntos de intersección de los pares de líneas OB, O´B´ ; OC, O´C´; y OD, O´D´ son colineales.
20.3 Los seis valores de la razón cruzada. Puesto que hay veinticuatro permutaciones de cuatro letras, hay veinticuatro razones cruzadas de cuatro puntos colineales Sin embargo, los valores de estas razones cruzadas no son todos diferentes. En efecto,demostraremos que las veinticuatro permutaciones pueden ser agrupadas en seis grupos de cuatro tales que las razones cruzadas de cada grupo son iguales. Más aún , si uno de estos valores es llamado =λ , los restantes son

Así si { ABCD}= λ, encontraremos enseguida que cada uno de {BADC}, {CDAB}, Y {DCBA} es también igual a λ. También por aplicación directa de la definición demostraremos que cada uno delos cuatro {ABCD},{BACD},{CDBA} y {DCAB} es igual a 1/ λ.
Enseguida consideremos {ACBD}. Con este propósito la identidad
AB×CD+ AC× DB × AD× BC= 0
se utilizará ( Sección 12.2). Dividiendo por AD×BC y reordenando, reducimos la identidad a la forma

esto es, {ACBD}= 1- λ. Del mismo modo hay otras tres permutaciones que dan razones cruzadas que tienen este valor. Un intercambio entre B y D da...