Geometria Proyectiva

GEOMETR´ PROYECTIVA IA
´ ESTEBAN GOMEZ

´ 1. Introduccion La Geometr´ Proyectiva naci´ como soluci´n a los problemas de perspectiva que ıa o o aparecen al tratar de representar en un plano objetos del espacio. Este tipo de necesidades, surgidas en la pintura y arquitectura, llevaron a la creaci´n de una teor´ o ıa matem´tica que recogiera las bases geom´tricas subyacentes a los m´todosconcretos a e e que poco a poco se fueron elaborando en esos campos del arte. Las primeras ideas de geometr´ proyectiva se remontan al Renacimiento motivadas ıa por la actividad de artistas y arquitectos. Piero della Francesca (1410-1492), Leone Battista Alberti (1404-1472) y Alberto Durero (1471-1528) reflexionaron sobre nociones geom´tricas como las de proyecci´n y secci´n para entender el problema dela repree o o sentaci´n de un objeto real tridimensional en un lienzo plano. El primer matem´tico o a que hizo uso de esas ideas fue el franc´s Girard Desargues (1591-1661), que introdue jo los m´todos proyectivos en su estudio de las c´nicas. Nociones proyectivas como e o los puntos del infinito fueron introducidos por Desargues al mismo tiempo que nuevos m´todos de demostraci´n, que le permitieronrealizar el mayor avance en el estudio e o o ıan de las c´nicas desde los tiempos de Apolonio. Mientras que los griegos ten´ que idear un m´todo diferente para cada teorema particular, Desargues vio en el enfoque e proyectivo un procedimiento general que le permit´ establecer resultados para todas ıa las c´nicas. Desargues influy´ fuertemente sobre Blaise Pascal (1623-1662) y Philippe o o de laHire (1640-1718), que dedicaron una actividad considerable al estudio proyectivo de las c´nicas. o La Geometr´ Proyectiva estudia las propiedades de las figuras que se conservan por ıa proyecci´n. As´ los matem´ticos anteriormente mencionados enunciaron nuevos teoreo ı, a mas en los que nociones geom´tricas cl´sicas como longitud y angulo eran sustituidas e a ´ por otras de incidencia de las figurasque, a diferencia de las primeras, s´ se conservaı ban por proyecci´n. Progresivamente se fue haciendo claro que los m´todos basados en o e estas ideas eran mucho m´s generales que los tradicionales y, a partir de una cuidadosa a distinci´n entre las propiedades proyectivas y las m´tricas, a finales del siglo XIX se o e configur´ una geometr´ mucho m´s amplia, la Geometr´ Proyectiva, que engloba a oıa a ıa todas las geometr´ conocidas anteriormente. Esto es, las geometr´ af´ eucl´ ıas ıas ın, ıdea y no eucl´ ıdeas se pueden considerar subgeometr´ de la proyectiva. Un ejemplo claro ıas ıa o ıa de este hecho es el modelo de geometr´ hiperb´lica que proporciona la Geometr´ Proyectiva especialmente adecuado para tener una visi´n intuitiva de dicha geometr´ o ıa no eucl´ ıdea. Por otro lado, en laGeometr´ Proyectiva se ha desarrollado la noci´n de transformaıa o ci´n que, a partir de las ideas presentadas por Felix Klein (1849-1925) en su “programa o de Erlangen”, ocupa un lugar central en la construcci´n de cualquier teor´ geom´trica. o ıa e De esta forma, el concepto de invarianza por transformaciones, que tan importante ha
Date: 4 de abril de 2003.
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sidoen la f´ ısica moderna, ha sido largamente anticipado en la Geometr´ Proyectiva ıa al estudiar las propiedades geom´tricas que permanecen invariantes por cambios de e coordenadas. Dentro del cuerpo de las matem´ticas, la Geometr´ Proyectiva se puede considerar a ıa como un modelo de teor´ que teniendo sus or´ ıa ıgenes en el mundo real, llega a un nivel de elaboraci´n en el que se combinan “laperfecci´n formal, la elegancia en el o o razonamiento y la riqueza de las intuiciones”. Hay que destacar que a principios del siglo XIX, la presentaci´n que se hizo de la o Geometr´ Proyectiva fue de tipo sint´tico o axiom´tico. Una de las figuras m´s imporıa e a a tantes fue Jean-Victor Poncelet (1788-1867), que estudi´ las figuras hom´logas, es decir, o o relacionadas entre s´ a trav´s de...