Geometria

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
SUBDIRECCIÓN DE DOCENCIA

GEOMETRIA

San Cristóbal, Enero 2011

Introducción

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En elAntiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a.C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

Geometría

La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de lamatemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc.

Tipos de geometría

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana o parabólica es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional.

Geometría plana

Lageometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Geometría espacial

La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades ymedidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

Geometría no euclidiana

Se denomina geometría noeuclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos.

Geometría hiperbólica

la geometría hiperbólica, intenta negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la quelos tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).

Geometría elíptica

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto resulta del espacio resulta indistinguible de cualquier otro.

Geometría de RiemannEn geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. Apartir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Teoremas clásicos en la geometría de Riemann

Teoremas generales

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en un variedad de Riemann compacta de 2 dimensiones es igual a 2πχ(M), aquí χ(M) denota la característica de Euler de M.
2. Teorema de inmersión de Nashtambién llamado Teorema Fundamental de la geometría de Riemann. Indican que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente sumergida en un espacio euclidiano Rn.

Geometría analítica

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir...