Geometria

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS NO. 51

Tercer semestre
Especialidad: Turismo
Turno: matutino
Trabajo semestral
Fecha: 20 de noviembre del 2010

Introducción

Índice
Distancia entre dos puntos
Punto de División
Punto medio
Área de triángulos y polígonos
Inclinación y pendiente de una recta
Hallar ecuación de la recta
Pendiente ordenada al origenEcuación cartesiana
Ecuación simétrica o Abscisa y ordenada al origen
Ecuación general
Ecuación normal
Reducción a la general
Ecuación general de la circunferencia
Parábola con vértice dentro y fuera del origen
Parábola con vértice fuera
Hipérbola
Elipse

1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las cuales explicaremos acontinuación:
Sean P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) , dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x) , la distancia dirigida entre los dos puntos es:
Fórmula:

Ejemplos:
Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
a) P1 (4, 1) y P2 (3, -2) b) P1 (-7, 4) y P2 (1, -11)

1.2PUNTO DE DIVISION
Es el que divide a un segmento en una relación dada. Consideremos los puntos P1 (x1 , y1) y p2 (x2, y2) y la recta que determinan. Sea P(x,y) un tercer punto que divida al segmento en la relación P1P = r como P1P y PP2.
PP2
Son del mismo sentido, dicha relación es positiva. Si el punto de división p(x,y) estuvierasituado en la prolongación del segmento, A uno otro lado del mismo, la relación P1P =r seria negativa , ya que p1p y pp2 tendrían sentidos opuestos.
PP2
Formulas: x= x1 + r y2 Y y= y1 + r y2
1+ r 1+ r
Ejemplos:
Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por:
a) p₁ (1,7) y P2 (6,-3) r= 2/3b) p₁ (-2,1) y p2 (3,-4) r=-8/3

1.3 PUNTO MEDIO
Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r =
Deacuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:

Formulas:
Ejemplos:
Halla las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos.
a) (4,7) (2,1) b) (8,1) (7,2)

1.4 Área de triángulos y polígonos
Sean p₁ (x₁,y₁) , p2 (x2,y2) y p3(x3,y3) los vértices de un triangulo , su area se puede obtener sumando lasáreas de los trapecios Q₁Q3P3P₁ Y Q3Q2P2P3 , y restando el área del trapecio Q1Q2P2P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triangulo al eje x.
El área resultante se expresa en una forma más fácil por:
Formulas:
Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el finde facilitar la operación.
Si los vértices se ordenan en una formula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa.
Ejemplos:
Hallar el área del triangulo cuyos vértices son los puntos:
a) (2,2)(-4,6) y (4,-2√2) b) (-7,5) , (1,1) y (-3,3)

1.5 Inclinación y pendiente de una recta
Angulo deinclinación
Sea ι una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo θ <180° que se obtiene al girar la semirrecta AX→ en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta ι. Por lo tanto, este ángulo (θ) se denomina inclinación de la recta ι....